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Physique statistique
3- L’approximation de champ moyen, connue aussi sous le nom de théorie du champ moléculaire
dans le cas d’un matériau ferromagnétique, consiste à remplacer l’interaction sur un site donné
due aux proches voisins par une interaction moyenne qui est la même en tout site du réseau :
−J
s i s j −→ −J
1
2
q
i
s i
où le facteur
1
2 est introduit pour éviter un double comptage des particules (il disparaît si l’on ne
considère qu’un seul site). Calculer, dans cette approximation, l’énergie moyenne en fonction de
que l’on définira.
4- Le réseau est en équilibre thermique à la température T. Calculer, pour un site donné, la
différence d’énergie entre les configurations −m et +m. En déduire le rapport
. Tout se
passe comme si l’approximation de champ moyen se traduisait par l’apparition d’un nouveau
champ magnétique, B
, appelé champ moléculaire. En donner son expression.
5- En remplaçant N + et N − par leur expression en fonction de L, montrer que :
qJ +mB
kT
=
1
2
Log
1+
1−
= tanh
−1
6- On s’intéresse maintenant à la magnétisation spontanée (B = 0). Dans ce cas :
== tanh
qJ
kT
où est la quantité que l’on veut déterminer. Expliquer comment l’on peut résoudre graphiquement cette équation. Déterminer la température critique T c . De quoi dépend-t-elle ?
3. 1- Montrer que le développement de l’équation de van der Waals réduite (22) autour de T = t c
et P = P c peut s’écrire :
p = 1 + 4´ − 6´u −
3
2
u
3
où ´ = (T − T c )/T c = t − 1 et u = (V − V c )/V c = v − 1. Au dessous de T c , la quantité u peut
représenter le paramètre d’ordre de la transition de phase.
2- Calculer l’évolution de la compressibilité isotherme K T = −
1
V
∂V
∂P
T
au voisinage du point
critique.
3- Comment s’exprime la condition relative à la construction de Maxwell ? La donner explicitement en tenant compte du fait que ´ est très petit (voisinage du point critique). Montrer que la
solution correspond à u g = −u l .
4- Comment varie u au voisinage du point critique ?
4. Au voisinage du point critique, la longueur de corrélation j est le paramètre le plus important. Nous allons considérer un système de dimensionalité spatiale d que l’on peut décrire par
le potentiel thermodynamique F (cela peut être l’énergie libre ou un autre potentiel selon les
variables macroscopiques choisies). Soit t = (T − T c )/T c et h les variables macroscopiques du
système. Par exemple, h peut être proportionnel au champ d’induction magnétique dans le cas
d’un matériau ferromagnétique ou à P − P c dans le cas d’un fluide. Nous supposerons que les
exposants critiques sont les mêmes, que la limite soit obtenue pour t → 0
+ ou pour t → 0
− .
Physique statistique
3- L’approximation de champ moyen, connue aussi sous le nom de théorie du champ moléculaire
dans le cas d’un matériau ferromagnétique, consiste à remplacer l’interaction sur un site donné
due aux proches voisins par une interaction moyenne qui est la même en tout site du réseau :
−J
s i s j −→ −J
1
2
q
i
s i
où le facteur
1
2 est introduit pour éviter un double comptage des particules (il disparaît si l’on ne
considère qu’un seul site). Calculer, dans cette approximation, l’énergie moyenne en fonction de
4- Le réseau est en équilibre thermique à la température T. Calculer, pour un site donné, la
différence d’énergie entre les configurations −m et +m. En déduire le rapport
. Tout se
passe comme si l’approximation de champ moyen se traduisait par l’apparition d’un nouveau
champ magnétique, B
, appelé champ moléculaire. En donner son expression.
5- En remplaçant N + et N − par leur expression en fonction de L, montrer que :
qJ
kT
=
1
2
Log
1+
1−
= tanh
−1
6- On s’intéresse maintenant à la magnétisation spontanée (B = 0). Dans ce cas :
qJ
kT
où
3. 1- Montrer que le développement de l’équation de van der Waals réduite (22) autour de T = t c
et P = P c peut s’écrire :
p = 1 + 4´ − 6´u −
3
2
u
3
où ´ = (T − T c )/T c = t − 1 et u = (V − V c )/V c = v − 1. Au dessous de T c , la quantité u peut
représenter le paramètre d’ordre de la transition de phase.
2- Calculer l’évolution de la compressibilité isotherme K T = −
1
V
∂V
∂P
T
au voisinage du point
critique.
3- Comment s’exprime la condition relative à la construction de Maxwell ? La donner explicitement en tenant compte du fait que ´ est très petit (voisinage du point critique). Montrer que la
solution correspond à u g = −u l .
4- Comment varie u au voisinage du point critique ?
4. Au voisinage du point critique, la longueur de corrélation j est le paramètre le plus important. Nous allons considérer un système de dimensionalité spatiale d que l’on peut décrire par
le potentiel thermodynamique F (cela peut être l’énergie libre ou un autre potentiel selon les
variables macroscopiques choisies). Soit t = (T − T c )/T c et h les variables macroscopiques du
système. Par exemple, h peut être proportionnel au champ d’induction magnétique dans le cas
d’un matériau ferromagnétique ou à P − P c dans le cas d’un fluide. Nous supposerons que les
exposants critiques sont les mêmes, que la limite soit obtenue pour t → 0
+ ou pour t → 0
− .