11 • Transitions de phase (II)
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mécaniques du système changent brusquement au seuil de percolation. Ainsi, quand on
approche le seuil de transition du côté sol, la viscosité du milieu augmente et devient
infinie au seuil de percolation.
• Une autre application de l’approche de percolation concerne la propagation des feux
de forêts. On peut modéliser une forêt par un réseau carré sur lequel on met des arbres
aux nœuds du réseau. On se donne ensuite une loi de propagation du feu d’un arbre à un
autre. Celle-ci dépend du vent, de l’espacement du réseau, etc.. Un amas est alors défini
comme le nombre d’arbres voisins qui brûlent. Selon la proportion p du réseau occupé,
on sera au dessous ou au dessus du seuil de percolation p c . Si l’on est au dessous, cela
signifie que le feu ne se propagera pas dans la forêt. Si l’on est au dessus de p c , toute la
forêt sera détruite par le feu.
Les idées concernant la percolation peuvent s’appliquer aux transitions de phase plus
classiques que nous avons décrites tout au long de ce chapitre. Néanmoins, la percolation est une approche purement géométrique et ne décrira donc qu’un aspect partiel
du problème. Elle permet néanmoins de comprendre ce qui se passe dans de nombreux
phénomènes critiques.
EXERCICES
1. L’équation de van de Waals
Calculer l’énergie moyenne, la capacité calorifique à volume constant, l’entropie et le potentiel
chimique d’un gaz obéissant à l’équation de van der Waals. Comparer les expressions obtenues
à celles d’un gaz parfait.
2. Le champ moléculaire
Nous allons considérer un réseau possédant N sites placé dans un champ d’induction magnétique
B dirigé selon un axe z. Une particule est placée en chacun des nœuds du réseau. Elle possède un
moment magnétique
m qui ne peut avoir, selon l’axe z, que 2 projections ±m. Ce moment magnétique résulte du spin de la particule qui vaut s =
1
2 . On associe à chaque projection du moment
magnétique d’une particule, située sur le site i, une variable s i qui vaut +1 lorsque la projection
de
m est +m et −1 dans le cas contraire. L’énergie totale du système, qui est essentiellement sous
forme potentielle, est donnée par le modèle de Ising (cf. équations (1,2) du chapitre 10) :
E = −mB
i
s i − J
s i s j
où J est une constante. Soit N + le nombre de sites tels que s i = +1 et N − ceux pour lesquels
s i = −1. On a N + + N − = N. On désignera par q le nombre de proches voisins d’un site donné.
1- Quelle est la valeur de q pour un réseau linéaire, triangulaire, carré, hexagonal et cubique ?
2- On définit le paramètre d’ordre à longue distance par la relation suivante : L = (N + − N − )/N.
Exprimer L en fonction de s i . Donner l’expression de N + , N − et de la magnétisation
M = (N + − N − )m en fonction de L.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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mécaniques du système changent brusquement au seuil de percolation. Ainsi, quand on
approche le seuil de transition du côté sol, la viscosité du milieu augmente et devient
infinie au seuil de percolation.
• Une autre application de l’approche de percolation concerne la propagation des feux
de forêts. On peut modéliser une forêt par un réseau carré sur lequel on met des arbres
aux nœuds du réseau. On se donne ensuite une loi de propagation du feu d’un arbre à un
autre. Celle-ci dépend du vent, de l’espacement du réseau, etc.. Un amas est alors défini
comme le nombre d’arbres voisins qui brûlent. Selon la proportion p du réseau occupé,
on sera au dessous ou au dessus du seuil de percolation p c . Si l’on est au dessous, cela
signifie que le feu ne se propagera pas dans la forêt. Si l’on est au dessus de p c , toute la
forêt sera détruite par le feu.
Les idées concernant la percolation peuvent s’appliquer aux transitions de phase plus
classiques que nous avons décrites tout au long de ce chapitre. Néanmoins, la percolation est une approche purement géométrique et ne décrira donc qu’un aspect partiel
du problème. Elle permet néanmoins de comprendre ce qui se passe dans de nombreux
phénomènes critiques.
EXERCICES
1. L’équation de van de Waals
Calculer l’énergie moyenne, la capacité calorifique à volume constant, l’entropie et le potentiel
chimique d’un gaz obéissant à l’équation de van der Waals. Comparer les expressions obtenues
à celles d’un gaz parfait.
2. Le champ moléculaire
Nous allons considérer un réseau possédant N sites placé dans un champ d’induction magnétique
B dirigé selon un axe z. Une particule est placée en chacun des nœuds du réseau. Elle possède un
moment magnétique
m qui ne peut avoir, selon l’axe z, que 2 projections ±m. Ce moment magnétique résulte du spin de la particule qui vaut s =
1
2 . On associe à chaque projection du moment
magnétique d’une particule, située sur le site i, une variable s i qui vaut +1 lorsque la projection
de
m est +m et −1 dans le cas contraire. L’énergie totale du système, qui est essentiellement sous
forme potentielle, est donnée par le modèle de Ising (cf. équations (1,2) du chapitre 10) :
E = −mB
i
s i − J
s i s j
où J est une constante. Soit N + le nombre de sites tels que s i = +1 et N − ceux pour lesquels
s i = −1. On a N + + N − = N. On désignera par q le nombre de proches voisins d’un site donné.
1- Quelle est la valeur de q pour un réseau linéaire, triangulaire, carré, hexagonal et cubique ?
2- On définit le paramètre d’ordre à longue distance par la relation suivante : L = (N + − N − )/N.
Exprimer L en fonction de s i . Donner l’expression de N + , N − et de la magnétisation
M = (N + − N − )m en fonction de L.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.