Physique statistique
faible que leur énergie totale, donc négligeable. On a alors ´ F cp F , où c est la vitesse de la
lumière.
a- Calculer, en fonction de p F , la quantité de mouvement moyenne
et l’énergie moyenne
<´> d’un électron dans le gaz.
b- Calculer l’énergie interne du gaz d’électron (on pourra utiliser l’hypothèse de la question
4 selon laquelle l’étoile a une densité de masse uniforme).
c- Montrer que, dans le cadre de l’approximation ultrarelativiste, il existe une masse limite
M c appelée masse critique, au delà de laquelle une naine blanche ne peut plus être stable et
s’effondre. Déterminer le nombre d’électrons qui correspondent à cette limite et calculer M c .
Comparer la valeur obtenue dans ce modèle schématique à la masse critique que l’on obtient avec
des modèles plus réalistes : M c 2, 9 10
30 kg (soit 1,44 fois la masse du soleil). Conclusions.
3. On considère un gaz de fermions à basse température. Calculer le flux de particules qui
frappent un élément de surface dS infinitésimal.
4. On considère un gaz parfait de bosons de spin nul et de masse m = 6, 65 10
−27 kg (Hélium).
La concentration des bosons est de 10
26 m
-3 . Calculer T B .
5. On considère une mole d’un gaz formé d’atomes d’hélium dont la masse vaut m = 6, 65 10
−27 kg
et dont le spin est nul. Ce gaz est enfermé dans une boîte cubique de volume V = 0, 0224 m
3 .
1- Calculer T B .
2- On considère les niveaux d’énergie à une particule caractérisés par : n x = n y = n z = 1 et n x = 2,
n y = n z = 1. Calculer l’énergie de ces états.
3- On change l’origine des énergies de façon à ce que l’état le plus bas ait une énergie nulle.
a- Calculer le potentiel chimique du gaz à T = 10
−4 K.
b- Calculer le rapport des taux d’occupation de ces états à la température T. Comparer cette
valeur au rapport que l’on obtiendrait avec la distribution de Boltzmann.
6. Le rayonnement fossile
1- Calculer la fréquence n M correspondant au maximum du spectre du rayonnement d’un corps
noir en contact avec un réservoir de chaleur à la température T (la solution de l’équation
3(1 − e −x ) = x est x = 2, 82).
2- Calculer la longueur d’onde l M correspondant au maximum du spectre d’un corps noir lorsque
la température du thermostat est de 5000 K. Quel type de lumière ce corps noir rayonne-t-il ?
3- Il a été possible de mesurer le spectre des rayons cosmiques dans une gamme étendue de
fréquences. Il a une forme analogue au spectre de rayonnement d’un corps noir, i.e. qu’il présente
un maximum pour une certaine fréquence n M . En fait, il est très bien reproduit dans la totalité de
sa gamme de fréquence par la loi de Planck. Expérimentalement, on observe que le maximum est
situé à une fréquence n M = 1, 8 10
11 Hz. Calculer la température T de ce rayonnement. Quelle
est sa signification physique ?