9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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7. Gaz de Phonons
La théorie d’Einstein portant sur le calcul de la capacité calorifique des solides, que nous avons
étudiée dans l’exercice 8 du chapitre 6, suppose que les atomes du cristal vibrent indépendamment les uns des autres, mais tous avec la même fréquence. Or, dans un cristal, les forces de
cohésion entre les atomes sont si intenses que les vibrations collectives risquent d’être beaucoup
plus importantes que les mouvements individuels des atomes. Aussi, dans la théorie de Debye,
le solide est-il traité comme un milieu élastique continu. Il est parcouru par des ondes dont la
fréquence dépend de la forme et de la taille du réseau cristallin. Ces ondes sont de même nature
que les ondes sonores et se propagent à la même vitesse. On distingue une vitesse de propagation
longitudinale v l et une vitesse de propagation transverse v t .
Il existe une similitude importante entre ce type de vibrations présentes dans les solides et le
rayonnement d’une cavité. Par exemple, le nombre de modes de vibration n’est pas fixé et il peut
varier. Le spectre de ces vibrations, bien que discret, est si serré lorsque le cristal est assez grand,
qu’il peut être considéré comme continu. L’analogie avec le rayonnement du corps noir permet
d’exprimer le nombre de modes de vibration dont la pulsation est égale à v à dv près, sous une
forme analogue à celle de l’équation (114). On doit cependant distinguer :
• les modes longitudinaux à un degré de liberté pour lesquels le nombre de modes est égal à
D l (v)dv =
Vv
2 dv
2p 2 v 2
l
(V est le volume du cristal).
• les modes transverses correspondant à deux degrés de liberté pour lesquels D t (v)dv = 2
Vv
2 dw
2p 2 v 2
t
(cf. ondes électromagnétiques). Le nombre total de vibrations dont la pulsation est comprise entre
v et v + dv , vaut donc :
D(v)dv =
Vv
2 dv
2p 2
1
v 3
l
+
2
v 3
t
Contrairement au rayonnement d’une cavité, pour lequel le nombre de modes n’a pas de limites,
la structure atomique du cristal (N atomes, donc 3N degrés de liberté) impose que le nombre de
modes vibrationnels indépendants est fini et qu’il est égal à 3N.
1- Montrer que cette propriété impose l’existence d’une pulsation limite v D , connue sous le nom
de pulsation de Debye, que l’on calculera.
2- L’analogie entre ce problème et celui du rayonnement du corps noir suggère d’associer aux
modes vibrationnels du solide, qui sont nécessairement quantifiés, la notion de gaz de phonons.
On admettra que ce gaz obéit à la statistique de Bose-Einstein. Déterminer :
a- Le nombre de phonons dont la pulsation est comprise entre v et v + dv.
b- La densité d’énergie vibrationnelle du solide.
c- L’énergie totale du solide.
d- La capacité calorifique du solide à volume constant, C V .
3- Étudier le comportement de C V dans les deux cas limites T → 0 et T → ∞. Comparer avec les
résultats trouvés dans le modèle d’Einstein (exercice 8, chapitre 6). Dans cette question on sera
amené à définir une température de référence Q D (dite température de Debye), caractéristique du
cristal, à laquelle T pourra être comparée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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7. Gaz de Phonons
La théorie d’Einstein portant sur le calcul de la capacité calorifique des solides, que nous avons
étudiée dans l’exercice 8 du chapitre 6, suppose que les atomes du cristal vibrent indépendamment les uns des autres, mais tous avec la même fréquence. Or, dans un cristal, les forces de
cohésion entre les atomes sont si intenses que les vibrations collectives risquent d’être beaucoup
plus importantes que les mouvements individuels des atomes. Aussi, dans la théorie de Debye,
le solide est-il traité comme un milieu élastique continu. Il est parcouru par des ondes dont la
fréquence dépend de la forme et de la taille du réseau cristallin. Ces ondes sont de même nature
que les ondes sonores et se propagent à la même vitesse. On distingue une vitesse de propagation
longitudinale v l et une vitesse de propagation transverse v t .
Il existe une similitude importante entre ce type de vibrations présentes dans les solides et le
rayonnement d’une cavité. Par exemple, le nombre de modes de vibration n’est pas fixé et il peut
varier. Le spectre de ces vibrations, bien que discret, est si serré lorsque le cristal est assez grand,
qu’il peut être considéré comme continu. L’analogie avec le rayonnement du corps noir permet
d’exprimer le nombre de modes de vibration dont la pulsation est égale à v à dv près, sous une
forme analogue à celle de l’équation (114). On doit cependant distinguer :
• les modes longitudinaux à un degré de liberté pour lesquels le nombre de modes est égal à
D l (v)dv =
Vv
2 dv
2p 2 v 2
l
(V est le volume du cristal).
• les modes transverses correspondant à deux degrés de liberté pour lesquels D t (v)dv = 2
Vv
2 dw
2p 2 v 2
t
(cf. ondes électromagnétiques). Le nombre total de vibrations dont la pulsation est comprise entre
v et v + dv , vaut donc :
D(v)dv =
Vv
2 dv
2p 2
1
v 3
l
+
2
v 3
t
Contrairement au rayonnement d’une cavité, pour lequel le nombre de modes n’a pas de limites,
la structure atomique du cristal (N atomes, donc 3N degrés de liberté) impose que le nombre de
modes vibrationnels indépendants est fini et qu’il est égal à 3N.
1- Montrer que cette propriété impose l’existence d’une pulsation limite v D , connue sous le nom
de pulsation de Debye, que l’on calculera.
2- L’analogie entre ce problème et celui du rayonnement du corps noir suggère d’associer aux
modes vibrationnels du solide, qui sont nécessairement quantifiés, la notion de gaz de phonons.
On admettra que ce gaz obéit à la statistique de Bose-Einstein. Déterminer :
a- Le nombre de phonons dont la pulsation est comprise entre v et v + dv.
b- La densité d’énergie vibrationnelle du solide.
c- L’énergie totale du solide.
d- La capacité calorifique du solide à volume constant, C V .
3- Étudier le comportement de C V dans les deux cas limites T → 0 et T → ∞. Comparer avec les
résultats trouvés dans le modèle d’Einstein (exercice 8, chapitre 6). Dans cette question on sera
amené à définir une température de référence Q D (dite température de Debye), caractéristique du
cristal, à laquelle T pourra être comparée.
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.