9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
193
EXERCICES
1. Le noyau atomique
Le noyau d’un atome de masse A et de numéro atomique Z est composé de Z protons et N = A−Z
neutrons. Les protons, tout comme les neutrons, sont des fermions de spin
1
2 . Ces particules interagissent fortement les unes avec les autres au sein du noyau. Pourtant il est possible d’avoir
une bonne estimation de l’ordre de grandeur de l’énergie moyenne des nucléons dans le noyau
en assimilant les neutrons et les protons à deux gaz parfaits de Fermi, indépendants et complètement dégénérés, dans un puits de potentiel uniforme (la température du noyau dans son état
fondamental est nulle). On suppose que chacun des gaz occupe la totalité du volume du noyau.
Celui-ci peut être considéré comme une sphère dont le rayon est donné par R = 1, 2A
1/3 fm. On
suppose que la masse du proton, m p , et celle du neutron, m n , sont égales à 1, 67 10
−27 kg.
1- Calculer l’énergie interne et l’énergie moyenne des neutrons d’un noyau de calcium (
40
20 Ca)
par rapport au fond du puits. On observe que les neutrons ont une énergie de liaison de 8 MeV
et qu’ils sont soumis à un potentiel moyen constant à l’intérieur du noyau d’environ - 45 MeV.
Discuter.
2- Décrire qualitativement la situation des protons (on notera que l’ensemble des protons se
comporte comme une sphère chargée en volume).
2. Naine blanche
Une naine blanche est une étoile dont la masse est voisine de celle du soleil, alors que son
rayon est proche de celui de la terre. La principale source de l’énergie d’une étoile provient des
réactions thermonucléaires qui se produisent en son centre, au cours desquelles l’hydrogène est
transformé en hélium. À ce stade, il peut éventuellement se former une naine blanche comme
Sirius B qui en est un exemple typique. Sa masse, M, est estimée à 2, 09 10
30 kg (soit 1,05 fois la
masse du soleil), tandis que son rayon R vaut 5570 km, ce qui en fait une sphère plus petite que la
terre. Nous nous proposons de construire un modèle schématique qui permette de retrouver assez
correctement ses caractéristiques. On suppose que tout l’hydrogène de l’étoile est transformé en
hélium
4
2 He totalement ionisé et que ce dernier ne va jouer aucun rôle dans le problème. On
considère alors l’étoile comme un gaz d’électrons sans interaction. La température au centre de
la naine blanche est estimée à T 2 10
7 K.
1- Calculer le nombre d’électrons, N e , présents dans la naine blanche.
2- Calculer ´ F . Montrer que l’on peut considérer le gaz d’électrons comme un gaz non relativiste
complètement dégénéré.
3- Calculer la pression qui règne dans l’étoile.
4- Calculer l’énergie interne du gaz d’électrons dégénéré en fonction de N e et de R. En supposant
que la naine blanche a une densité de masse uniforme, calculer son énergie potentielle de gravitation. Montrer qu’il y a équilibre entre ces énergies (et par conséquent que l’étoile est stable)
pour un rayon R e que l’on déterminera. Calculer R e et comparer le résultat au rayon actuel de la
naine blanche. Le modèle schématique que nous avons développé est-il satisfaisant ?
5- Calculer, en fonction de N e , la quantité de mouvement de Fermi p F du gaz d’électrons dégénéré. On observe que p F augmente avec la concentration en électrons du gaz. Celui-ci peut donc
devenir relativiste. Pour chercher à savoir si la masse de l’étoile peut augmenter indéfiniment,
on se place à la limite ultrarelativiste où l’énergie de masse des électrons devient beaucoup plus
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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EXERCICES
1. Le noyau atomique
Le noyau d’un atome de masse A et de numéro atomique Z est composé de Z protons et N = A−Z
neutrons. Les protons, tout comme les neutrons, sont des fermions de spin
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2 . Ces particules interagissent fortement les unes avec les autres au sein du noyau. Pourtant il est possible d’avoir
une bonne estimation de l’ordre de grandeur de l’énergie moyenne des nucléons dans le noyau
en assimilant les neutrons et les protons à deux gaz parfaits de Fermi, indépendants et complètement dégénérés, dans un puits de potentiel uniforme (la température du noyau dans son état
fondamental est nulle). On suppose que chacun des gaz occupe la totalité du volume du noyau.
Celui-ci peut être considéré comme une sphère dont le rayon est donné par R = 1, 2A
1/3 fm. On
suppose que la masse du proton, m p , et celle du neutron, m n , sont égales à 1, 67 10
−27 kg.
1- Calculer l’énergie interne et l’énergie moyenne des neutrons d’un noyau de calcium (
40
20 Ca)
par rapport au fond du puits. On observe que les neutrons ont une énergie de liaison de 8 MeV
et qu’ils sont soumis à un potentiel moyen constant à l’intérieur du noyau d’environ - 45 MeV.
Discuter.
2- Décrire qualitativement la situation des protons (on notera que l’ensemble des protons se
comporte comme une sphère chargée en volume).
2. Naine blanche
Une naine blanche est une étoile dont la masse est voisine de celle du soleil, alors que son
rayon est proche de celui de la terre. La principale source de l’énergie d’une étoile provient des
réactions thermonucléaires qui se produisent en son centre, au cours desquelles l’hydrogène est
transformé en hélium. À ce stade, il peut éventuellement se former une naine blanche comme
Sirius B qui en est un exemple typique. Sa masse, M, est estimée à 2, 09 10
30 kg (soit 1,05 fois la
masse du soleil), tandis que son rayon R vaut 5570 km, ce qui en fait une sphère plus petite que la
terre. Nous nous proposons de construire un modèle schématique qui permette de retrouver assez
correctement ses caractéristiques. On suppose que tout l’hydrogène de l’étoile est transformé en
hélium
4
2 He totalement ionisé et que ce dernier ne va jouer aucun rôle dans le problème. On
considère alors l’étoile comme un gaz d’électrons sans interaction. La température au centre de
la naine blanche est estimée à T 2 10
7 K.
1- Calculer le nombre d’électrons, N e , présents dans la naine blanche.
2- Calculer ´ F . Montrer que l’on peut considérer le gaz d’électrons comme un gaz non relativiste
complètement dégénéré.
3- Calculer la pression qui règne dans l’étoile.
4- Calculer l’énergie interne du gaz d’électrons dégénéré en fonction de N e et de R. En supposant
que la naine blanche a une densité de masse uniforme, calculer son énergie potentielle de gravitation. Montrer qu’il y a équilibre entre ces énergies (et par conséquent que l’étoile est stable)
pour un rayon R e que l’on déterminera. Calculer R e et comparer le résultat au rayon actuel de la
naine blanche. Le modèle schématique que nous avons développé est-il satisfaisant ?
5- Calculer, en fonction de N e , la quantité de mouvement de Fermi p F du gaz d’électrons dégénéré. On observe que p F augmente avec la concentration en électrons du gaz. Celui-ci peut donc
devenir relativiste. Pour chercher à savoir si la masse de l’étoile peut augmenter indéfiniment,
on se place à la limite ultrarelativiste où l’énergie de masse des électrons devient beaucoup plus
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.