190
Physique statistique
Comme le nombre de photons contenus dans la cavité maintenue à la température T
est variable, il est tout indiqué d’utiliser l’ensemble grand canonique pour traiter ce
problème. À l’équilibre, l’énergie libre du système, dont le volume et la température
sont fixés, doit être minimum. Comme le nombre de particules est la seule quantité qui
peut varier, on a :
∂F
∂N
T,V
= m = 0
(111)
ce qui signifie que le potentiel chimique du gaz de photons est nul : c’est un gaz de Bose
dégénéré. Le nombre moyen de photons, < n i >, qui sont dans un micro-état d’énergie ´ i = v i (i.e. de pulsation v i ) est donné par la distribution de Bose-Einstein dans
laquelle m = 0 :
=
1
exp(
v i
kT
) − 1
(112)
Cette distribution, associée aux photons, est appelée distribution de Planck. Le nombre
de micro-états dont le module de l’impulsion, dans le volume V, est compris entre p et
p + dp est donné par :
gV
4pp 2 dp
h 3
=
Vv 2 dv
p 2 c 3
(113)
puisque g = 2. C’est aussi le nombre de micro-états dont la pulsation est comprise entre
v et v + dv. Le nombre de photons dN v , dont la pulsation est comprise entre v et v + dv
est obtenu en multipliant le nombre précédent par le nombre d’occupation moyen d’un
micro-état :
dN v =
V
p 2 c 3
v 2 dv
exp(
v
kT
) − 1
(114)
Si l’on utilise les relations (110), l’énergie associée à ce rayonnement, dans la gamme
comprise entre v et v + dv, vaut :
dE v =
V
p 2 c 3
v 3 dv
exp(
v
kT
) − 1
= 8p
hcV
l 5
−dl
exp(
hc
lkT
) − 1
(115)
C’est la formule de Planck. Elle donne la distribution spectrale de l’énergie du corps
noir. Elle a une importance historique considérable. Elle a été obtenue par Planck de
manière phénoménologique et a permis de bien reproduire les résultats expérimentaux
relatifs au rayonnement du corps noir. Ce bon accord, entre la formule de Planck et
l’expérience, fait partie des faits expérimentaux importants qui ont permis l’avènement
de la mécanique quantique. Deux cas limites sont intéressants à étudier : v kT et
v kT. Lorsque v kT (basses fréquences) l’équation (115) donne :
dE v =
V
p 2 c 3 kTv
2 dv
(116)
Physique statistique
Comme le nombre de photons contenus dans la cavité maintenue à la température T
est variable, il est tout indiqué d’utiliser l’ensemble grand canonique pour traiter ce
problème. À l’équilibre, l’énergie libre du système, dont le volume et la température
sont fixés, doit être minimum. Comme le nombre de particules est la seule quantité qui
peut varier, on a :
∂F
∂N
T,V
= m = 0
(111)
ce qui signifie que le potentiel chimique du gaz de photons est nul : c’est un gaz de Bose
dégénéré. Le nombre moyen de photons, < n i >, qui sont dans un micro-état d’énergie ´ i = v i (i.e. de pulsation v i ) est donné par la distribution de Bose-Einstein dans
laquelle m = 0 :
1
exp(
v i
kT
) − 1
(112)
Cette distribution, associée aux photons, est appelée distribution de Planck. Le nombre
de micro-états dont le module de l’impulsion, dans le volume V, est compris entre p et
p + dp est donné par :
gV
4pp 2 dp
h 3
=
Vv 2 dv
p 2 c 3
(113)
puisque g = 2. C’est aussi le nombre de micro-états dont la pulsation est comprise entre
v et v + dv. Le nombre de photons dN v , dont la pulsation est comprise entre v et v + dv
est obtenu en multipliant le nombre précédent par le nombre d’occupation moyen d’un
micro-état :
dN v =
V
p 2 c 3
v 2 dv
exp(
v
kT
) − 1
(114)
Si l’on utilise les relations (110), l’énergie associée à ce rayonnement, dans la gamme
comprise entre v et v + dv, vaut :
dE v =
V
p 2 c 3
v 3 dv
exp(
v
kT
) − 1
= 8p
hcV
l 5
−dl
exp(
hc
lkT
) − 1
(115)
C’est la formule de Planck. Elle donne la distribution spectrale de l’énergie du corps
noir. Elle a une importance historique considérable. Elle a été obtenue par Planck de
manière phénoménologique et a permis de bien reproduire les résultats expérimentaux
relatifs au rayonnement du corps noir. Ce bon accord, entre la formule de Planck et
l’expérience, fait partie des faits expérimentaux importants qui ont permis l’avènement
de la mécanique quantique. Deux cas limites sont intéressants à étudier : v kT et
v kT. Lorsque v kT (basses fréquences) l’équation (115) donne :
dE v =
V
p 2 c 3 kTv
2 dv
(116)