9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
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puisque m = 0. L’expression ci-dessus permet également de calculer la pression :
P = −
∂F
∂V
T
= 0, 0851g
m 3/2 (kT) 5/2
3
(108)
Ainsi, lorsque T < T B , la pression ne dépend que de la température du système et non
de son volume. Ceci provient de ce que les particules qui se trouvent dans l’état ´ = 0
ont une impulsion nulle (ou presque) et, par conséquent, ne créent pas de pression sur
les parois du récipient. Il faut néanmoins noter que, pour un système fini, P ne peut
être rigoureusement nulle mais qu’elle donne, à l’échelle macroscopique, une contribution extrêmement faible. L’examen des formules ci-dessus montre que lorsque T < T B ,
l’énergie et la pression d’un gaz de Bose sont inférieures à la valeur qu’elles auraient si
ce gaz avait un comportement classique. Cela peut s’expliquer par l’accumulation de ces
particules dans l’état d’énergie le plus bas. De manière imagée cela revient à dire qu’il
y a une certaine « attraction » des bosons entre eux (nous avons vu précédemment qu’il
y a une certaine « répulsion » pour les fermions). Lorsque T est suffisamment élevée, le
gaz de Bose, tout comme le gaz de Fermi, se comporte comme un gaz classique.
9.2.4 Le rayonnement du corps noir
Une des applications importantes du gaz de Bose concerne l’émission d’un rayonnement électromagnétique par un corps chauffé à la température T (rayonnement du corps
noir). Ce rayonnement est constitué de photons qui sont des particules de spin 1, donc
des bosons. La linéarité des équations de Maxwell (principe de superposition de l’électromagnétisme) implique que ce gaz de photons peut être considéré comme parfait. De
plus, la théorie de la relativité entraîne que le photon ne peut avoir que deux états de
polarisation transverse (la polarisation longitudinale est interdite pour un photon réel).
La dégénérescence en spin n’est donc pas de trois comme le laisserait penser la valeur
du spin qui est égale à 1, mais de deux seulement. En fait, la définition du spin pour un
photon est un abus de langage car il n’est pas possible de se placer dans un référentiel où
le photon est au repos (la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels). En
résumé, il faut toujours prendre pour le facteur de dégénérescence associé au spin des
photons : g = 2.
Nous allons considérer une cavité portée à la température T. Celle-ci est peuplée de
photons qui sont émis et absorbés par les parois. Lorsque la vitesse d’une particule est
proche de celle de la lumière, c, il n’est plus possible d’appliquer la mécanique classique
et il faut utiliser la mécanique relativiste. Dans ce cadre, la relation entre l’énergie et
l’impulsion d’un photon est donnée par la relation :
E = pc
(109)
Si on prend le point de vue ondulatoire, un photon se propage comme une onde de
pulsation v, de fréquence n, et de longueur d’onde l. Ces différentes quantités sont
reliées entre elles par :
E = v = hn = h
c
l
= pc
(110)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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puisque m = 0. L’expression ci-dessus permet également de calculer la pression :
P = −
∂F
∂V
T
= 0, 0851g
m 3/2 (kT) 5/2
3
(108)
Ainsi, lorsque T < T B , la pression ne dépend que de la température du système et non
de son volume. Ceci provient de ce que les particules qui se trouvent dans l’état ´ = 0
ont une impulsion nulle (ou presque) et, par conséquent, ne créent pas de pression sur
les parois du récipient. Il faut néanmoins noter que, pour un système fini, P ne peut
être rigoureusement nulle mais qu’elle donne, à l’échelle macroscopique, une contribution extrêmement faible. L’examen des formules ci-dessus montre que lorsque T < T B ,
l’énergie et la pression d’un gaz de Bose sont inférieures à la valeur qu’elles auraient si
ce gaz avait un comportement classique. Cela peut s’expliquer par l’accumulation de ces
particules dans l’état d’énergie le plus bas. De manière imagée cela revient à dire qu’il
y a une certaine « attraction » des bosons entre eux (nous avons vu précédemment qu’il
y a une certaine « répulsion » pour les fermions). Lorsque T est suffisamment élevée, le
gaz de Bose, tout comme le gaz de Fermi, se comporte comme un gaz classique.
9.2.4 Le rayonnement du corps noir
Une des applications importantes du gaz de Bose concerne l’émission d’un rayonnement électromagnétique par un corps chauffé à la température T (rayonnement du corps
noir). Ce rayonnement est constitué de photons qui sont des particules de spin 1, donc
des bosons. La linéarité des équations de Maxwell (principe de superposition de l’électromagnétisme) implique que ce gaz de photons peut être considéré comme parfait. De
plus, la théorie de la relativité entraîne que le photon ne peut avoir que deux états de
polarisation transverse (la polarisation longitudinale est interdite pour un photon réel).
La dégénérescence en spin n’est donc pas de trois comme le laisserait penser la valeur
du spin qui est égale à 1, mais de deux seulement. En fait, la définition du spin pour un
photon est un abus de langage car il n’est pas possible de se placer dans un référentiel où
le photon est au repos (la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels). En
résumé, il faut toujours prendre pour le facteur de dégénérescence associé au spin des
photons : g = 2.
Nous allons considérer une cavité portée à la température T. Celle-ci est peuplée de
photons qui sont émis et absorbés par les parois. Lorsque la vitesse d’une particule est
proche de celle de la lumière, c, il n’est plus possible d’appliquer la mécanique classique
et il faut utiliser la mécanique relativiste. Dans ce cadre, la relation entre l’énergie et
l’impulsion d’un photon est donnée par la relation :
E = pc
(109)
Si on prend le point de vue ondulatoire, un photon se propage comme une onde de
pulsation v, de fréquence n, et de longueur d’onde l. Ces différentes quantités sont
reliées entre elles par :
E = v = hn = h
c
l
= pc
(110)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.