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Physique statistique
soit :
T B =
h 2
2pmk
N
2, 612gV
2/3
=
3, 31 2
mk
N
gV
2/3
(99)
En divisant l’équation (97) par l’équation (98) on obtient :
N ´>0 = N
T
T B
3/2
(100)
Si T < T B , le nombre de bosons dans le micro-état ´ = 0 est égal à :
N ´=0 ≈ N
1 −
T
T B
3/2
(101)
Si l’on fait décroître la température T au dessous de la valeur T B , la population des bosons dans le micro-état ´ = 0 a tendance à augmenter. On appelle ce phénomène la
condensation de Bose-Einstein. Il ne s’agit pas d’une condensation dans l’espace réel
mais d’une condensation dans l’espace des impulsions : les bosons ont tendance à s’accumuler dans le micro-état de plus faible énergie. Lorsque T < T B , il est intéressant
de calculer l’expression de quelques quantités thermodynamiques associées au gaz de
Bose. Comme m = 0, h = 0. L’énergie interne vaut (équation 78) :
E = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
5/2 J 3/2 (0)
(102)
Comme J 3/2 (0) =
3
4
√
pz(
5
2 ) =
3
4
√
p1, 34 (annexe A5), on en déduit :
E = 1, 34
3
2
gV
h 3 (2pm)
3/2 (kT)
5/2
(103)
ou, en utilisant l’équation (99) :
E = 0, 77NkT
T
T B
3/2
(104)
ce qui permet de calculer la capacité calorifique à volume constant :
C V =
∂E
∂T
V
= 1, 93Nk
T
T B
3/2
=
5
2
E
T
(105)
L’entropie, qui est reliée au grand potentiel par S = −
∂C
∂T
V,m
, se déduit aisément de
l’équation (80) :
S = −
∂C
∂T
V,m
= 1, 28Nk
T
T B
3/2
=
5
3
E
T
(106)
Elle tend vers zéro lorsque T → 0, en accord avec le troisième principe de la thermodynamique. On peut vérifier que :
F = E − TS = −
2
3
E = C + mN = C
(107)