9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
187
9.2.3 Condensation de Bose-Einstein
Contrairement au cas des fermions, nous avons vu que l’on peut mettre un nombre quelconque de bosons dans un micro-état particulier. Lorsque la température du système est
nulle, tous les bosons doivent se trouver dans l’état de plus basse énergie, ´ = 0. Cet
état est exclus dans l’expression (76) et cette dernière n’est donc égale qu’au nombre de
particules qui ne sont pas dans l’état ´ = 0. Appelons N ´>0 ce nombre. Nous avons :
N ´>0 = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´d´
exp(
´ − m
kT
) − 1
(92)
Le nombre de bosons dans l’état ´ = 0 est, quant à lui, égal à :
N ´=0 = N − N ´>0
(93)
Lorsque T est élevée, N ´=0 N ´>0 , et l’équation (76) permet de calculer convenablement le nombre total de particules (la substitution (60) est une bonne approximation). À
T = 0, ce n’est plus le cas car toutes les particules sont dans le micro-état correspondant
à ´ = 0, par conséquent :
< n 0 >= N =
1
exp(−
m
kT
) − 1
(94)
d’où :
−
m
kT
= Log (1 +
1
N
) ≈
1
N
(95)
puisque N est grand. On en conclut qu’à T = 0, m = 0. Lorsque T augmente, tout en restant très basse, la majorité des bosons se trouve encore dans le micro-état d’énergie ´ = 0
et le potentiel chimique est négatif, mais très faible en valeur absolue. Par exemple, si
N ∼ N = 6, 02 10 23 et si N ´=0 = 10 20 , on voit que m ∼ 10 −20 kT, ce qui est extrêmement
petit. On peut donc considérer que le potentiel chimique est pratiquement nul dans ces
conditions. Dans ce cas, le nombre de bosons qui se trouvent dans les états excités à une
particule est donné par :
N ´>0 = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2
∞
0
√
xdx
exp(x) − 1
(96)
L’intégrale définie ci-dessus vaut (cf. annexe A5)
√
p
2
z(
3
2 ) =
√
p
2
2, 612. D’où :
N ´>0 = 2, 612
gV
h 3 (2pmkT)
3/2
(97)
On appelle température de Bose, T B , la valeur de T pour laquelle N ´>0 = N. Elle représente la température à partir de laquelle l’expression (76) est valable (il ne reste alors
qu’une quantité infime de bosons dans l’état fondamental ´ = 0). Elle est donnée par :
N = 2, 612
gV
h 3 (2pmkT B )
3/2
(98)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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9.2.3 Condensation de Bose-Einstein
Contrairement au cas des fermions, nous avons vu que l’on peut mettre un nombre quelconque de bosons dans un micro-état particulier. Lorsque la température du système est
nulle, tous les bosons doivent se trouver dans l’état de plus basse énergie, ´ = 0. Cet
état est exclus dans l’expression (76) et cette dernière n’est donc égale qu’au nombre de
particules qui ne sont pas dans l’état ´ = 0. Appelons N ´>0 ce nombre. Nous avons :
N ´>0 = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2
∞
0
√
´d´
exp(
´ − m
kT
) − 1
(92)
Le nombre de bosons dans l’état ´ = 0 est, quant à lui, égal à :
N ´=0 = N − N ´>0
(93)
Lorsque T est élevée, N ´=0 N ´>0 , et l’équation (76) permet de calculer convenablement le nombre total de particules (la substitution (60) est une bonne approximation). À
T = 0, ce n’est plus le cas car toutes les particules sont dans le micro-état correspondant
à ´ = 0, par conséquent :
< n 0 >= N =
1
exp(−
m
kT
) − 1
(94)
d’où :
−
m
kT
= Log (1 +
1
N
) ≈
1
N
(95)
puisque N est grand. On en conclut qu’à T = 0, m = 0. Lorsque T augmente, tout en restant très basse, la majorité des bosons se trouve encore dans le micro-état d’énergie ´ = 0
et le potentiel chimique est négatif, mais très faible en valeur absolue. Par exemple, si
N ∼ N = 6, 02 10 23 et si N ´=0 = 10 20 , on voit que m ∼ 10 −20 kT, ce qui est extrêmement
petit. On peut donc considérer que le potentiel chimique est pratiquement nul dans ces
conditions. Dans ce cas, le nombre de bosons qui se trouvent dans les états excités à une
particule est donné par :
N ´>0 = 2p
gV
h 3 (2m)
3/2 (kT)
3/2
∞
0
√
xdx
exp(x) − 1
(96)
L’intégrale définie ci-dessus vaut (cf. annexe A5)
√
p
2
z(
3
2 ) =
√
p
2
2, 612. D’où :
N ´>0 = 2, 612
gV
h 3 (2pmkT)
3/2
(97)
On appelle température de Bose, T B , la valeur de T pour laquelle N ´>0 = N. Elle représente la température à partir de laquelle l’expression (76) est valable (il ne reste alors
qu’une quantité infime de bosons dans l’état fondamental ´ = 0). Elle est donnée par :
N = 2, 612
gV
h 3 (2pmkT B )
3/2
(98)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.