9 • Gaz de Fermi et gaz de Bose
191
C’est la formule de Rayleigh-Jeans. La lumière pouvant être considérée comme une
superposition d’oscillations harmoniques de pulsation v, la condition v kT correspond à la limite classique pour ces oscillations. Dans ce contexte, l’expression (116)
correspond alors au théorème d’équipartition de l’énergie (l’énergie moyenne de chaque
oscillateur est kT et il y en a
Vv 2 dv
p 2 c 3 . Cette expression est classique car on peut remarquer que la constante de Planck h a disparu. Lorsque v kT (hautes fréquences), le
comportement quantique de chaque oscillation est important. L’équation (115) donne :
dE v = V
p 2 c 3 v
3 e
−
v
kT dv
(117)
C’est la formule de Wien. Elle a été obtenue initialement par Wien en appliquant seulement les lois de la thermodynamique et de l’électromagnétisme. La distribution spectrale (115),
dE v
dv
, est maximum pour v M = 2, 822
kT
. La fréquence maximum augmente
avec la température T de la cavité. Calculons à présent quelques quantités thermodynamiques. L’énergie totale rayonnée par la cavité est obtenue en intégrant l’équation (115)
sur toutes les fréquences :
E =
V
p 2 c 3
∞
0
v 3 dv
exp(
v
kT
) − 1
(118)
En posant
v
kT
= x, on obtient :
E =
Vk 4
3 p 2 c 3 T
4
∞
0
x 3 dx
e x − 1
=
Vk 4
p 2 c 3 3 T
4 p 4
15
(119)
où nous avons utilisé les résultats de l’annexe A5. L’énergie est proportionnelle à T 4 ,
c’est la loi de Stéphan. Elle a été démontrée initialement dans le même contexte que la
loi de Wien. L’énergie totale qui est rayonnée dans la cavité par unité de volume vaut :
e =
E
V
=
Vk 4 p 2
15c 3 3 T
4 =
4
c
sT
4 = 7, 56 10
−16 T
4 Jm
−3
(120)
où nous avons introduit, s, une constante appelée constante de Stéphan. Comme m = 0,
l’énergie libre peut être identifiée au grand potentiel (équation 85) :
F = C = kT
i
Log
1 − exp
−´ i
kT
(121)
L’examen de l’équation (118) montre que, pour les photons, la loi de correspondance
(60) doit être remplacée par :
i
. . . →
V
p 2 c 3
∞
0
. . . v
2 dv
(122)
d’où :
F = C = kT
V
p 2 c 3
∞
0
v
2 Log (1 − e
−
v
kT )dv
(123)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
191
C’est la formule de Rayleigh-Jeans. La lumière pouvant être considérée comme une
superposition d’oscillations harmoniques de pulsation v, la condition v kT correspond à la limite classique pour ces oscillations. Dans ce contexte, l’expression (116)
correspond alors au théorème d’équipartition de l’énergie (l’énergie moyenne de chaque
oscillateur est kT et il y en a
Vv 2 dv
p 2 c 3 . Cette expression est classique car on peut remarquer que la constante de Planck h a disparu. Lorsque v kT (hautes fréquences), le
comportement quantique de chaque oscillation est important. L’équation (115) donne :
dE v = V
p 2 c 3 v
3 e
−
v
kT dv
(117)
C’est la formule de Wien. Elle a été obtenue initialement par Wien en appliquant seulement les lois de la thermodynamique et de l’électromagnétisme. La distribution spectrale (115),
dE v
dv
, est maximum pour v M = 2, 822
kT
. La fréquence maximum augmente
avec la température T de la cavité. Calculons à présent quelques quantités thermodynamiques. L’énergie totale rayonnée par la cavité est obtenue en intégrant l’équation (115)
sur toutes les fréquences :
E =
V
p 2 c 3
∞
0
v 3 dv
exp(
v
kT
) − 1
(118)
En posant
v
kT
= x, on obtient :
E =
Vk 4
3 p 2 c 3 T
4
∞
0
x 3 dx
e x − 1
=
Vk 4
p 2 c 3 3 T
4 p 4
15
(119)
où nous avons utilisé les résultats de l’annexe A5. L’énergie est proportionnelle à T 4 ,
c’est la loi de Stéphan. Elle a été démontrée initialement dans le même contexte que la
loi de Wien. L’énergie totale qui est rayonnée dans la cavité par unité de volume vaut :
e =
E
V
=
Vk 4 p 2
15c 3 3 T
4 =
4
c
sT
4 = 7, 56 10
−16 T
4 Jm
−3
(120)
où nous avons introduit, s, une constante appelée constante de Stéphan. Comme m = 0,
l’énergie libre peut être identifiée au grand potentiel (équation 85) :
F = C = kT
i
Log
1 − exp
−´ i
kT
(121)
L’examen de l’équation (118) montre que, pour les photons, la loi de correspondance
(60) doit être remplacée par :
i
. . . →
V
p 2 c 3
∞
0
. . . v
2 dv
(122)
d’où :
F = C = kT
V
p 2 c 3
∞
0
v
2 Log (1 − e
−
v
kT )dv
(123)
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.