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Physique statistique
La fonction de partition totale, Z, peut être factorisée en un produit de quatre fonctions
de partition correspondant aux différents modes : Z e , excitation électronique ; Z t , translation ; Z v , vibration et Z R , rotation. Chacune d’entre elles a été calculée précédemment,
ce qui permet d’évaluer facilement Z. Ce qui vient d’être fait sur un cas particulier
est tout à fait général (cf. section 6.5.6). Lorsque l’on peut séparer l’énergie totale en
une somme de plusieurs contributions indépendantes, correspondant à des modes plus
simples, on peut factoriser la fonction de partition et l’on ramène alors la résolution d’un
problème complexe à celle de plusieurs problèmes plus simples.
EXERCICES
1. Rapport de populations
On veut comparer le moment magnétique total de l’atome de gallium selon que celui-ci est
dans les états
2 P 1/2 ou
2 P 3/2 . Les atomes peuvent en effet se trouver dans l’une ou l’autre de
ces configurations selon l’orientation spatiale de leur moment angulaire total. Les deux états
2 P 1/2 sont les états d’énergie les plus bas. Les quatre états
2 P 3/2 ont une énergie supérieure aux
précédents de ´ = 0, 102 eV. Les atomes sont produits en chauffant du gallium dans un four à la
température T. Un petit trou, percé dans la paroi, permet aux atomes de s’échapper pour former
un faisceau atomique sur lequel les mesures sont faites.
1- Calculer la proportion d’atomes dans les états
2 P 1/2 et
2 P 3/2 à la température ambiante
(T = T a ).
2- La température la plus élevée possible pour le four est d’environ 6T a . Que deviennent ces
proportions ?
2. Atomes interstitiels
Considérons un solide cristallin monoatomique, formé de N atomes, maintenu à la température
absolue T. Les atomes sont normalement placés aux nœuds du réseau. Un atome peut néanmoins
se trouver dans une position interstitielle. Lorsque c’est le cas, son énergie est supérieure de ´
à l’énergie qu’il aurait dans une position normale. Supposons qu’il y ait N atomes, N positions
normales et N positions interstitielles. Chaque atome peut occuper soit une position normale
(configuration A), soit une position interstitielle (configuration B).
1- Quel est le rapport
P A
P B
des probabilités P A et P B de rencontrer ces deux configurations ?
2- a) Quelle est la probabilité de rencontrer une situation où n atomes interstitiels sont distribués d’une façon particulière bien définie, et où les n positions normales vides sont également
distribuées d’une façon particulière bien définie ?
b) De combien de manières peut-on distribuer n atomes sur les N positions interstitielles
possibles ? De combien de manières est-il possible de distribuer les n atomes manquants sur les
N positions normales ?
c) En combinant les résultats a) et b), trouver l’expression de la probabilité P(n) pour que n
positions interstitielles soient occupées par des atomes.
d) Déterminer la valeur n pour laquelle P(n) est maximale. (Pour trouver le résultat, on passera par Log P(n)).
Physique statistique
La fonction de partition totale, Z, peut être factorisée en un produit de quatre fonctions
de partition correspondant aux différents modes : Z e , excitation électronique ; Z t , translation ; Z v , vibration et Z R , rotation. Chacune d’entre elles a été calculée précédemment,
ce qui permet d’évaluer facilement Z. Ce qui vient d’être fait sur un cas particulier
est tout à fait général (cf. section 6.5.6). Lorsque l’on peut séparer l’énergie totale en
une somme de plusieurs contributions indépendantes, correspondant à des modes plus
simples, on peut factoriser la fonction de partition et l’on ramène alors la résolution d’un
problème complexe à celle de plusieurs problèmes plus simples.
EXERCICES
1. Rapport de populations
On veut comparer le moment magnétique total de l’atome de gallium selon que celui-ci est
dans les états
2 P 1/2 ou
2 P 3/2 . Les atomes peuvent en effet se trouver dans l’une ou l’autre de
ces configurations selon l’orientation spatiale de leur moment angulaire total. Les deux états
2 P 1/2 sont les états d’énergie les plus bas. Les quatre états
2 P 3/2 ont une énergie supérieure aux
précédents de ´ = 0, 102 eV. Les atomes sont produits en chauffant du gallium dans un four à la
température T. Un petit trou, percé dans la paroi, permet aux atomes de s’échapper pour former
un faisceau atomique sur lequel les mesures sont faites.
1- Calculer la proportion d’atomes dans les états
2 P 1/2 et
2 P 3/2 à la température ambiante
(T = T a ).
2- La température la plus élevée possible pour le four est d’environ 6T a . Que deviennent ces
proportions ?
2. Atomes interstitiels
Considérons un solide cristallin monoatomique, formé de N atomes, maintenu à la température
absolue T. Les atomes sont normalement placés aux nœuds du réseau. Un atome peut néanmoins
se trouver dans une position interstitielle. Lorsque c’est le cas, son énergie est supérieure de ´
à l’énergie qu’il aurait dans une position normale. Supposons qu’il y ait N atomes, N positions
normales et N positions interstitielles. Chaque atome peut occuper soit une position normale
(configuration A), soit une position interstitielle (configuration B).
1- Quel est le rapport
P A
P B
des probabilités P A et P B de rencontrer ces deux configurations ?
2- a) Quelle est la probabilité de rencontrer une situation où n atomes interstitiels sont distribués d’une façon particulière bien définie, et où les n positions normales vides sont également
distribuées d’une façon particulière bien définie ?
b) De combien de manières peut-on distribuer n atomes sur les N positions interstitielles
possibles ? De combien de manières est-il possible de distribuer les n atomes manquants sur les
N positions normales ?
c) En combinant les résultats a) et b), trouver l’expression de la probabilité P(n) pour que n
positions interstitielles soient occupées par des atomes.
d) Déterminer la valeur n pour laquelle P(n) est maximale. (Pour trouver le résultat, on passera par Log P(n)).