6 • L’ensemble canonique
133
3. Balance ultrasensible
On peut utiliser, en guise de balance ultrasensible, un ressort à quartz suspendu à un support fixe.
Si l’on allonge le ressort d’une faible longueur x, une force de rappel de la forme −ax (où a est
l’analogue de la raideur d’un ressort normal) se fait sentir. La balance baigne dans un milieu dont
la température T est constante et l’accélération de la pesanteur vaut g. On suspend au ressort un
très petit objet de masse m.
1- Donner la distribution de probabilité de l’élongation du ressort à l’équilibre. Calculer la fonction de partition Z, ainsi que la probabilité d’obtenir une élongation donnée. Quelle est l’élongation moyenne du ressort ?
2- L’agitation thermique entraîne l’existence de fluctuations autour de cette valeur moyenne.
La pesée perd sa signification physique si les fluctuations atteignent la valeur de l’élongation
moyenne. Calculer l’amplitude des fluctuations thermiques. Quelle est la masse minimale m que
l’on peut peser avec cette balance ?
4. Entropie de l’ensemble canonique
On cherche à comparer, pour un système A donné, d’énergie moyenne fixée, les valeurs
moyennes S et S 0 de l’entropie que l’on obtient respectivement pour une distribution de probabilité P r arbitraire et pour la distribution canonique P
(0)
r =
e −bE r
Z
(avec Z =
r e −bE r ).
1- Démontrer que S − S 0 = k
r P r Log
P
(0)
r
Pr .
2- En utilisant l’inégalité Logx x−1, que l’on démontrera, montrer que S 0 S. Conclusions ?
5. Gaz parfait dans le champ de pesanteur
On considère un récipient conique de hauteur H, dont la base circulaire de rayon R est horizontale
et parallèle au sol. Le sommet du cône repose sur le sol et le récipient contient une mole d’un gaz
parfait de masse m à la température T. On suppose que la hauteur H du cône est suffisamment
grande pour que l’on ne puisse pas négliger les effets de la pesanteur. Calculer la distribution en
impulsion du gaz. Conclusions.
6. Centrifugation d’un gaz parfait
Un cylindre de rayon R et de hauteur H contient une mole de gaz parfait à la température
constante T. On fait tourner le cylindre autour de son axe à la vitesse angulaire v. On admettra qu’en régime permanent une molécule située à une distance r de l’axe de rotation est soumise
à une accélération radiale de module v
2 r.
1- Calculer la fonction de partition et la pression P(r) du gaz.
2- Calculer le rapport des pressions P(r)/P(0) pour un cylindre de 25cm de rayon, tournant
à 3 000 tours minute, et rempli d’oxygène à la température T = 300K. (La masse molaire de
l’oxygène est M = 32 10
−3 kg mole
-1 )
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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3. Balance ultrasensible
On peut utiliser, en guise de balance ultrasensible, un ressort à quartz suspendu à un support fixe.
Si l’on allonge le ressort d’une faible longueur x, une force de rappel de la forme −ax (où a est
l’analogue de la raideur d’un ressort normal) se fait sentir. La balance baigne dans un milieu dont
la température T est constante et l’accélération de la pesanteur vaut g. On suspend au ressort un
très petit objet de masse m.
1- Donner la distribution de probabilité de l’élongation du ressort à l’équilibre. Calculer la fonction de partition Z, ainsi que la probabilité d’obtenir une élongation donnée. Quelle est l’élongation moyenne
2- L’agitation thermique entraîne l’existence de fluctuations autour de cette valeur moyenne.
La pesée perd sa signification physique si les fluctuations atteignent la valeur de l’élongation
moyenne. Calculer l’amplitude des fluctuations thermiques. Quelle est la masse minimale m que
l’on peut peser avec cette balance ?
4. Entropie de l’ensemble canonique
On cherche à comparer, pour un système A donné, d’énergie moyenne
moyennes S et S 0 de l’entropie que l’on obtient respectivement pour une distribution de probabilité P r arbitraire et pour la distribution canonique P
(0)
r =
e −bE r
Z
(avec Z =
r e −bE r ).
1- Démontrer que S − S 0 = k
r P r Log
P
(0)
r
Pr .
2- En utilisant l’inégalité Logx x−1, que l’on démontrera, montrer que S 0 S. Conclusions ?
5. Gaz parfait dans le champ de pesanteur
On considère un récipient conique de hauteur H, dont la base circulaire de rayon R est horizontale
et parallèle au sol. Le sommet du cône repose sur le sol et le récipient contient une mole d’un gaz
parfait de masse m à la température T. On suppose que la hauteur H du cône est suffisamment
grande pour que l’on ne puisse pas négliger les effets de la pesanteur. Calculer la distribution en
impulsion du gaz. Conclusions.
6. Centrifugation d’un gaz parfait
Un cylindre de rayon R et de hauteur H contient une mole de gaz parfait à la température
constante T. On fait tourner le cylindre autour de son axe à la vitesse angulaire v. On admettra qu’en régime permanent une molécule située à une distance r de l’axe de rotation est soumise
à une accélération radiale de module v
2 r.
1- Calculer la fonction de partition et la pression P(r) du gaz.
2- Calculer le rapport des pressions P(r)/P(0) pour un cylindre de 25cm de rayon, tournant
à 3 000 tours minute, et rempli d’oxygène à la température T = 300K. (La masse molaire de
l’oxygène est M = 32 10
−3 kg mole
-1 )
c
Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.