Rappelons que la loi de Cauchy s’écrit :
n(λ) = A 1 +
B 1
λ 2
Considérons un spectre continu issu d’une source émettant de la lumière blanche.
Quand la longueur d’onde augmente, l’indice de réfraction diminue et la réfraction
devient moins importante. Les petites longueurs d’onde, perçues comme du bleu
(λ ≈ 400 nm ), sont donc plus dispersées que les grandes longueurs d’ondes, perçues
comme du rouge (λ ≈ 750 nm ) ; on observe donc que les petites longueurs d’ondes
sont plus déviées par le prisme que les grandes.
On peut justifier analytiquement cette observation : considérons en effet de la lumière
blanche arrivant sur un prisme d’angle A , avec un angle d’incidence i 1 . La variation de
D en fonction de la longueur d’onde permet d’accéder à celle de l’indice n(λ) . La différence fondamentale avec l’étude précédente est la nature de la variable car cette fois,
l’angle i 1 est constant et c’est n qui varie.
On peut obtenir l’expression analytique permettant d’accéder à la variation de D en différentiant les quatre formules du prisme avec i 1 et A constants :
sin i 1 = n r sin r 1 ⇒ 0 = dn r sin r 1 + n r cos r 1 dr 1
r 1 + r 2 = A ⇒ dr 1 + dr 2 = 0
sin i 2 = n r sin r 2 ⇒ cos i 2 di 2 = dn r sin r 2 + n r cos r 2 dr 2
D = i 1 + i 2 − A ⇒ dD = di 2
Les trois premières différentielles permettent d’exprimer di 2 puis dD en fonction de
dn r .
di 2 =
dn r sin r 2 + n r cos r 2 dr 2
cos i 2
=
dn r sin r 2 − n r cos r 2 dr 1
cos i 2
Or :
n r dr 1 = −dn r
sin r 1
cos r 1
d’où : dD = di 2 =
dn r
cos r 1 cos i 2
(sin r 2 cos r 1 + sin r 1 cos r 2 ) =
dn r
cos r 1 cos i 2
sin (r 1 + r 2 )
Finalement :
dD =
dn r
cos i 2 cos r 1
sin A
En différentiant l’expression de n r dans la loi de Cauchy énoncée précédemment
(n r = n car on suppose l’indice extérieur égal à 1) on obtient dD en fonction de dλ :
dn r = dn = −
2B 1
λ 3 dλ
et :
dD = −
2B 1
λ 3
sin A
cos r 1 cos i 2
dλ
On retrouve analytiquement qu’à la sortie du prisme, les différentes radiations sortent
bien dans des directions différentes. Si λ augmente, dλ > 0 et dD < 0 ; la déviation
diminue. Ceci montre bien que les radiations de petite longueur d’onde (comme
λ ≈ 400 nm , percues comme du bleu) sont plus déviées que les radiations de grande longueur d’onde (comme λ ≈ 750 nm , percues comme du rouge). Si l’on place un écran
dans le faisceau sortant, on y verra donc le rouge en haut et le bleu en bas (figure 3.8(a)).
Optique
62
n(λ) = A 1 +
B 1
λ 2
Considérons un spectre continu issu d’une source émettant de la lumière blanche.
Quand la longueur d’onde augmente, l’indice de réfraction diminue et la réfraction
devient moins importante. Les petites longueurs d’onde, perçues comme du bleu
(λ ≈ 400 nm ), sont donc plus dispersées que les grandes longueurs d’ondes, perçues
comme du rouge (λ ≈ 750 nm ) ; on observe donc que les petites longueurs d’ondes
sont plus déviées par le prisme que les grandes.
On peut justifier analytiquement cette observation : considérons en effet de la lumière
blanche arrivant sur un prisme d’angle A , avec un angle d’incidence i 1 . La variation de
D en fonction de la longueur d’onde permet d’accéder à celle de l’indice n(λ) . La différence fondamentale avec l’étude précédente est la nature de la variable car cette fois,
l’angle i 1 est constant et c’est n qui varie.
On peut obtenir l’expression analytique permettant d’accéder à la variation de D en différentiant les quatre formules du prisme avec i 1 et A constants :
sin i 1 = n r sin r 1 ⇒ 0 = dn r sin r 1 + n r cos r 1 dr 1
r 1 + r 2 = A ⇒ dr 1 + dr 2 = 0
sin i 2 = n r sin r 2 ⇒ cos i 2 di 2 = dn r sin r 2 + n r cos r 2 dr 2
D = i 1 + i 2 − A ⇒ dD = di 2
Les trois premières différentielles permettent d’exprimer di 2 puis dD en fonction de
dn r .
di 2 =
dn r sin r 2 + n r cos r 2 dr 2
cos i 2
=
dn r sin r 2 − n r cos r 2 dr 1
cos i 2
Or :
n r dr 1 = −dn r
sin r 1
cos r 1
d’où : dD = di 2 =
dn r
cos r 1 cos i 2
(sin r 2 cos r 1 + sin r 1 cos r 2 ) =
dn r
cos r 1 cos i 2
sin (r 1 + r 2 )
Finalement :
dD =
dn r
cos i 2 cos r 1
sin A
En différentiant l’expression de n r dans la loi de Cauchy énoncée précédemment
(n r = n car on suppose l’indice extérieur égal à 1) on obtient dD en fonction de dλ :
dn r = dn = −
2B 1
λ 3 dλ
et :
dD = −
2B 1
λ 3
sin A
cos r 1 cos i 2
dλ
On retrouve analytiquement qu’à la sortie du prisme, les différentes radiations sortent
bien dans des directions différentes. Si λ augmente, dλ > 0 et dD < 0 ; la déviation
diminue. Ceci montre bien que les radiations de petite longueur d’onde (comme
λ ≈ 400 nm , percues comme du bleu) sont plus déviées que les radiations de grande longueur d’onde (comme λ ≈ 750 nm , percues comme du rouge). Si l’on place un écran
dans le faisceau sortant, on y verra donc le rouge en haut et le bleu en bas (figure 3.8(a)).
Optique
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