les trois autres formules du prisme. Ainsi, à partir de A = r 1 + r 2 , on obtient dr 1 = −dr 2 .
Enfin, à partir des deux relations de Snell-Descartes sin i 1 = n r sin r 1 et sin i 2 = n r sin r 2 ,
on obtient :
cos i 1 di 1 = n r cos r 1 dr 1 et cos i 2 di 2 = n r cos r 2 dr 2 .
En divisant membres à membres ces deux dernières relations, et en utilisant les deux
premières, on arrive à :
cos i 1 cos r 2 = cos i 2 cos r 1
En éliminant r 1 et r 2 à partir des relations de Snell-Descartes, on obtient l’équation
reliant i 1 et i 2 :
(1 − sin
2 i 1 )
1 −
1
n 2
r
sin
2 i 2
= (1 − sin
2 i 2 )
1 −
1
n 2
r
sin
2 i 1
Après simplification, on trouve :
(1 − n
2
r )(sin i
2
1 − sin i
2
2 ) = 0
La déviation passe par un extremum qui correspond donc à i 1 = i 2 = i . L’autre solution
est n r = 1 ; elle est sans intérêt car elle revient à considérer un prisme d’air : la propagation se fait alors toujours dans un même milieu, en ligne droite, sans déviation.
3.3.2. Deuxième méthode (dérivée)
A est une caractéristique du prisme, la seule variable étant i 1 . La valeur minimale de D
peut donc être obtenue en annulant la dérivée de D par rapport à i 1 . Celle-ci s’écrit :
dD
di 1
= 1 +
di 2
di 1
De même en dérivant par rapport à i 1 la loi de Snell-Descartes écrite aux deux faces, on
obtient :
cos i 2
di 2
di 1
= n r cos r 2
dr 2
di 1
et cos i 1 = n r cos r 1
dr 1
di 1
Comme par ailleurs r 1 + r 2 = A ⇒
dr 2
di 1
= −
dr 1
di 1
, on obtient finalement :
dD
di 1
= 1 −
cos r 2 cos i 1
cos r 1 cos i 2
Comme précédemment cette dérivée s’annule si i 1 = i 2 = i , soit r 1 = r 2 = r .
En toute rigueur, pour s’assurer que cet extremum est bien un minimum, il faut déterminer le signe de la dérivée seconde de D à l’extremum. Un calcul simple, mais fastidieux,
que nous ne donnerons pas ici permet de montrer que, en i 1 = i 2 = i et r 1 = r 2 = r ,
d
2 D
di
2
1
> 0 .
Optique
58