On peut alors dériver cos (Dm/2) par rapport à n et on trouve :
d D m
dn
=
2
n
4 − n
2
n 2 − 1
. Pour
dn = 0,014 , on a d D m = 0,0355 rd = 2,03
◦ . On retrouve bien le fait que les différentes longueurs d’onde ne se réfléchissent pas toutes aux mêmes points J et K , ce qui donne cette dispersion de couleur bien connue dans le phénomène de l’arc-en-ciel.
Serre de jardinier
1) En J, l’angle limite j 0 est donné par
n sin j 0 = 1 , j 0 = 41,8°, r 0 = 48,18°.
Pour que le rayon sorte en J, il faut que
r > r 0
et
donc
i > i 0
avec
sin i 0 = n sin r 0 = 1,11 > 1. Il y a donc
toujours réflexion totale. Le rayon va se
réfléchir alternativement sur les 2 faces.
2) En I
, r < i existe toujours car on va
d’un milieu moins réfringent vers un
milieu plus réfringent. En J
, j = i : le
rayon traverse. En K, s < k existe toujours pour la même raison que précédemment. En L, le rayon sort avec l = k.
Comme
j = i
et
k + j = 90°,
k = l = 90 − i.
Lame à faces parallèles
1) v = c/n
2) I J K = 2e/cos r . I L = I K sin i = 2e tan r sin i .
3) Temps de parcours
τ I J K =
2en
c cos r
τ I L =
2e
c
tan r sin i
t =
2en
c cos r
−
2e
c
tan r sin i =
2en
c cos r
−
2e
c
sin r
cos r
sin i =
2en
c cos r
(n − n sin
2 r)
=
2en
c
cos r
Cylindre de verre
r + j = 90 °. sin i = n 1 sin r = n 1 cos j.
À la limite, n 1 sin j 0 = n 2 et sin i 0 = n 1 cos j 0 . On élimine l’angle j 0 en formant
sin
2 j 0 + cos
2 j 0 = 1, ce qui donne sin i 0 =
n
2
1 − n
2
2 = 0,654, i 0 = 40,83 °.
Cube de verre
1,7 sin i = 1,33 . i = 51,47 °
À la limite en J, 1,7 sin j = 1. j = 36,03°. i = 90 − j = 53,96 °.
12
11
10
9
Optique
50
i
j
I
J
i
r
j
j
I
J
d D m
dn
=
2
n
4 − n
2
n 2 − 1
. Pour
dn = 0,014 , on a d D m = 0,0355 rd = 2,03
◦ . On retrouve bien le fait que les différentes longueurs d’onde ne se réfléchissent pas toutes aux mêmes points J et K , ce qui donne cette dispersion de couleur bien connue dans le phénomène de l’arc-en-ciel.
Serre de jardinier
1) En J, l’angle limite j 0 est donné par
n sin j 0 = 1 , j 0 = 41,8°, r 0 = 48,18°.
Pour que le rayon sorte en J, il faut que
r > r 0
et
donc
i > i 0
avec
sin i 0 = n sin r 0 = 1,11 > 1. Il y a donc
toujours réflexion totale. Le rayon va se
réfléchir alternativement sur les 2 faces.
2) En I
, r < i existe toujours car on va
d’un milieu moins réfringent vers un
milieu plus réfringent. En J
, j = i : le
rayon traverse. En K, s < k existe toujours pour la même raison que précédemment. En L, le rayon sort avec l = k.
Comme
j = i
et
k + j = 90°,
k = l = 90 − i.
Lame à faces parallèles
1) v = c/n
2) I J K = 2e/cos r . I L = I K sin i = 2e tan r sin i .
3) Temps de parcours
τ I J K =
2en
c cos r
τ I L =
2e
c
tan r sin i
t =
2en
c cos r
−
2e
c
tan r sin i =
2en
c cos r
−
2e
c
sin r
cos r
sin i =
2en
c cos r
(n − n sin
2 r)
=
2en
c
cos r
Cylindre de verre
r + j = 90 °. sin i = n 1 sin r = n 1 cos j.
À la limite, n 1 sin j 0 = n 2 et sin i 0 = n 1 cos j 0 . On élimine l’angle j 0 en formant
sin
2 j 0 + cos
2 j 0 = 1, ce qui donne sin i 0 =
n
2
1 − n
2
2 = 0,654, i 0 = 40,83 °.
Cube de verre
1,7 sin i = 1,33 . i = 51,47 °
À la limite en J, 1,7 sin j = 1. j = 36,03°. i = 90 − j = 53,96 °.
12
11
10
9
Optique
50
i
j
I
J
i
r
j
j
I
J