a) Le rayon réfracté existe toujours en I puisque l’on se propage vers un milieu plus réfringent.
Quand i = 90
◦ , on a 1 = n sin r , soit r = 48,59
◦ . C’est l’angle limite de réfraction dans la
goutte.
b) Le triangle I J O étant isocèle (O I = O J = R ) et
sin r
O J
=
sin r
O I
, donc r
= r ce qui
implique i
= i . Dans le triangle I J O
, on a π − D + 2(i − r) = π , soit D = 2(i − r) .
Comme par ailleurs r < i , D > 0 et est toujours croissante. D est donc minimum en
d D = 0 . À incidence nulle, le rayon incident traverse alors la goutte selon le diamètre (également normale au dioptre en I ) sans être dévié. On a alors i = r = 0 et D m = 0 .
Le minimum de déviation est obtenu en annulant la différentielle de D . d D = 0 revient à
di − dr = 0 . Or, n cos r dr = cos i di, ce qui donne aussi (cos i − n cos r)di = 0 . Ceci est
réalisé de façon simultanée avec la relation de Snell-Descartes pour n = 1 , ce qui est sans intérêt (il n’y a plus de goutte). L’autre solution est i = r = 0 , solution déjà discutée.
Si la goutte est éclairée par un faisceau de rayons parallèles, les différents rayons arrivant aux
alentours du point J ne sont pas vus sous les mêmes incidences (les normales respectives sur
le cercle ne sont pas parallèles entre elles). On voit donc un halo de lumière, ce qui correspond à de la diffusion dans le brouillard.
c) De la même façon que précédemment, les triangles O J K et I O J sont isocèles ; donc
r
= r
= r et i
= i
= i .
De même, le triangle I O K est isocèle (O K = O I = R ). Dans le triangle I J K , les angles
O K I et O I K sont donnés par : π = 4r + 2 O I K , soit O I K = O K I = 90
◦
− 2r . Pour calculer D
, on considère le triangle F K I , dans lequel
π − D
+ 2i + 2O I K = π − D
+ 2i + 2
π
2
− 2r
= π ,
soit D
= π + 2i − 4r .
Le minimum de déviation est donné par d D
= 0 . Ceci entraîne di = 2dr soit
n cos r = 2 cos i . Or, sin i = n sin r . En éliminant r , on en déduit l’expression de sin i puis
celle de cos D m /2 .
On a :
sin i = n
√
1 − cos 2 r = n
1 − 4
cos
2 i
n 2 = n
1 −
4
n 2 (1 − sin
2 i) .
En regroupant les termes en sin i , on trouve sin i =
4 − n
2
3
.
De même, on peut calculer :
cos
D m
2
= sin (2r − i) =
4
n 2 sin i(1 − sin
2 i) − sin i
1 − 2
sin
2 i
n 2
=
sin i(4 − n
2
)
3n 2
=
(4 − n
2
)
3
27n 4
Pour n = 4/3 , cela donne i = 59,39
◦ , r = 40,2
◦ et D m = 137,97
◦ . Ce phénomène est celui
de l’arc-en-ciel.
d) On peut montrer de la même façon que sin
D m
2
= (n
2
+ 8)
n
2
− 1
27n 4 .
8
2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
49
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Quand i = 90
◦ , on a 1 = n sin r , soit r = 48,59
◦ . C’est l’angle limite de réfraction dans la
goutte.
b) Le triangle I J O étant isocèle (O I = O J = R ) et
sin r
O J
=
sin r
O I
, donc r
= r ce qui
implique i
= i . Dans le triangle I J O
, on a π − D + 2(i − r) = π , soit D = 2(i − r) .
Comme par ailleurs r < i , D > 0 et est toujours croissante. D est donc minimum en
d D = 0 . À incidence nulle, le rayon incident traverse alors la goutte selon le diamètre (également normale au dioptre en I ) sans être dévié. On a alors i = r = 0 et D m = 0 .
Le minimum de déviation est obtenu en annulant la différentielle de D . d D = 0 revient à
di − dr = 0 . Or, n cos r dr = cos i di, ce qui donne aussi (cos i − n cos r)di = 0 . Ceci est
réalisé de façon simultanée avec la relation de Snell-Descartes pour n = 1 , ce qui est sans intérêt (il n’y a plus de goutte). L’autre solution est i = r = 0 , solution déjà discutée.
Si la goutte est éclairée par un faisceau de rayons parallèles, les différents rayons arrivant aux
alentours du point J ne sont pas vus sous les mêmes incidences (les normales respectives sur
le cercle ne sont pas parallèles entre elles). On voit donc un halo de lumière, ce qui correspond à de la diffusion dans le brouillard.
c) De la même façon que précédemment, les triangles O J K et I O J sont isocèles ; donc
r
= r
= r et i
= i
= i .
De même, le triangle I O K est isocèle (O K = O I = R ). Dans le triangle I J K , les angles
O K I et O I K sont donnés par : π = 4r + 2 O I K , soit O I K = O K I = 90
◦
− 2r . Pour calculer D
, on considère le triangle F K I , dans lequel
π − D
+ 2i + 2O I K = π − D
+ 2i + 2
π
2
− 2r
= π ,
soit D
= π + 2i − 4r .
Le minimum de déviation est donné par d D
= 0 . Ceci entraîne di = 2dr soit
n cos r = 2 cos i . Or, sin i = n sin r . En éliminant r , on en déduit l’expression de sin i puis
celle de cos D m /2 .
On a :
sin i = n
√
1 − cos 2 r = n
1 − 4
cos
2 i
n 2 = n
1 −
4
n 2 (1 − sin
2 i) .
En regroupant les termes en sin i , on trouve sin i =
4 − n
2
3
.
De même, on peut calculer :
cos
D m
2
= sin (2r − i) =
4
n 2 sin i(1 − sin
2 i) − sin i
1 − 2
sin
2 i
n 2
=
sin i(4 − n
2
)
3n 2
=
(4 − n
2
)
3
27n 4
Pour n = 4/3 , cela donne i = 59,39
◦ , r = 40,2
◦ et D m = 137,97
◦ . Ce phénomène est celui
de l’arc-en-ciel.
d) On peut montrer de la même façon que sin
D m
2
= (n
2
+ 8)
n
2
− 1
27n 4 .
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2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.