ment retrouver graphiquement le fait que r n’existe plus au-delà d’une certaine incidence : les points A et C sont à nouveau confondus sur la droite de séparation entre les
deux milieux. Dans ce cas limite (principe de retour inverse de la lumière) :
sin i lim =
I A
I B
=
1
n r
Cette méthode, qui a joué un grand rôle à l’époque où les calculatrices n’existaient pas,
est peu employée aujourd’hui. Elle est pourtant fort instructive car elle rend bien
compte de la réalité à partir de constructions simples.
6. APPROXIMATION DES PETITS ANGLES : LOI DE KEPLER
Si l’angle d’incidence i est petit, on peut confondre la fonction sinus avec la valeur de
l’angle exprimée en radians. Il en est alors de même pour r . On rappelle qu’au premier
ordre sin i ≈ i et cos i ≈ 1 ; on a de même sin r ≈ r et cos r ≈ 1 (voir annexe 1). On
peut obtenir dans ce cas une expression approchée de la loi de Snell-Descartes sous une
nouvelle forme appelée loi de Kepler :
ni = n
r ou i = n r r
Dans l’énoncé de cette loi, les angles peuvent être exprimés en radians ou en degrés.
Plus l’angle est grand et plus l’erreur de la loi de Kepler est importante. Le tableau 2.3,
calculé pour 0
◦
< i < 90
◦ , teste l’approximation des petits angles en termes d’erreur
relative, définie par
i − sin i
sin i
; l’angle dans ce cas doit bien évidemment être exprimé en
radians.
2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
33
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Tableau 2.3 • Erreur commise lorsque l’on utilise la loi de Kepler au lieu de celle de Snell-Descartes.
Ces deux lois sont comparées sur la figure 2.16.
On remarque qu’elles se séparent nettement à partir de i = 20°.
. i (radians)
0
0,1745
0,349
0,523 0,698 0,872 1,047 1,571
sin i
0
0,1736
0,342
0,5
0,643 0,766 0,866
1
Erreur (%)
=
i(radians) − sin i
sin i(radians)
0
0,5
2
4,6
8,6
13,9
20,9
57
. i(
◦
)
0
10
20
30
40
50
60
90
Loi de Kepler. Lorsque les angles d’incidence sont faibles, la loi de Snell-Descartes peut
s’écrire :
i = n r r