2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
25
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
À titre d’exemple, on a tracé sur la figure
2.3 le temps de parcours en fonction de
y pour C(2,5; 5) et A(5; 0) . On voit
bien que le temps est extrémal (ici minimal) pour y = 3,33 .
Mathématiquement, le signe de la dérivée
seconde du temps de parcours permet de
déterminer la nature de l’extremum.
Dans l’exemple choisi, on a :
d
2 t
dy 2 =
1
V
X
2
A
AB 3 +
X
2
C
BC 3
> 0
On retrouve ainsi le fait que le temps de
parcours est minimal.
Dans le cas d’un dioptre plan (figure
2.2), on montre de la même façon que le
temps de parcours est minimal. Nous proposons de généraliser ce résultat à une
surface de forme quelconque, par
exemple le miroir représenté sur la
figure 2.4. Pour simplifier le calcul, on
place les deux points A et C de départ et
d’arrivée du rayon sur l’axe Ox , symétriques par rapport à l’origine des coordonnées et l’on considère le plan
(Ox,Oy) , ce qui n’enlève rien à la généralité de la discussion. La réflexion sur le
miroir se fait au point B , seul point qui
vérifie le principe de Fermat.
On a t =
B A + BC
V
=
1
V
(
√
(x + a) 2 + y 2 +
√
(x − a) 2 + y 2 ) .
Posons B A + BC = l , où l est une constante. Nous allons démontrer que le lieu des
points vérifiant cette égalité est un ellipsoïde. On a :
B A
2
= (l − BC)
2
= l
2
+ BC
2
− 2l · BC
soit, en introduisant les coordonnées de A et B :
(x + a)
2
+ y
2
= l
2
+ (x − a)
2
+ y
2
− 2l · BC
soit :
BC =
l
2
−
2ax
l
Si l’on élève au carré et que l’on écrit l’expression de BC en fonction de x et y , on
obtient l’équation de l’ellipsoïde :
x
2
(l/2) 2 +
y
2
(l 2 /4 − a 2 )
= 1
Le lieu des points B correspondant à un temps de parcours l/V se trouve donc sur
un ellipsoïde particulier. Quelle que soit la valeur de l , les foyers des ellipsoïdes ainsi
--10
--5
0
5
10
15
8
10
12
14
16
18
Coordonnée y de B
Temps de parcours t
Figure 2.3 • Temps de parcours du rayon
lumineux lorsqu’il se réfléchit sur un miroir plan.
;; ;;
y
(S)
O
A
C
a
a
B (x, y, O)
x
Figure 2.4 • Évaluation du chemin parcouru
par un rayon se réfléchissant sur un miroir.
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
À titre d’exemple, on a tracé sur la figure
2.3 le temps de parcours en fonction de
y pour C(2,5; 5) et A(5; 0) . On voit
bien que le temps est extrémal (ici minimal) pour y = 3,33 .
Mathématiquement, le signe de la dérivée
seconde du temps de parcours permet de
déterminer la nature de l’extremum.
Dans l’exemple choisi, on a :
d
2 t
dy 2 =
1
V
X
2
A
AB 3 +
X
2
C
BC 3
> 0
On retrouve ainsi le fait que le temps de
parcours est minimal.
Dans le cas d’un dioptre plan (figure
2.2), on montre de la même façon que le
temps de parcours est minimal. Nous proposons de généraliser ce résultat à une
surface de forme quelconque, par
exemple le miroir représenté sur la
figure 2.4. Pour simplifier le calcul, on
place les deux points A et C de départ et
d’arrivée du rayon sur l’axe Ox , symétriques par rapport à l’origine des coordonnées et l’on considère le plan
(Ox,Oy) , ce qui n’enlève rien à la généralité de la discussion. La réflexion sur le
miroir se fait au point B , seul point qui
vérifie le principe de Fermat.
On a t =
B A + BC
V
=
1
V
(
√
(x + a) 2 + y 2 +
√
(x − a) 2 + y 2 ) .
Posons B A + BC = l , où l est une constante. Nous allons démontrer que le lieu des
points vérifiant cette égalité est un ellipsoïde. On a :
B A
2
= (l − BC)
2
= l
2
+ BC
2
− 2l · BC
soit, en introduisant les coordonnées de A et B :
(x + a)
2
+ y
2
= l
2
+ (x − a)
2
+ y
2
− 2l · BC
soit :
BC =
l
2
−
2ax
l
Si l’on élève au carré et que l’on écrit l’expression de BC en fonction de x et y , on
obtient l’équation de l’ellipsoïde :
x
2
(l/2) 2 +
y
2
(l 2 /4 − a 2 )
= 1
Le lieu des points B correspondant à un temps de parcours l/V se trouve donc sur
un ellipsoïde particulier. Quelle que soit la valeur de l , les foyers des ellipsoïdes ainsi
--10
--5
0
5
10
15
8
10
12
14
16
18
Coordonnée y de B
Temps de parcours t
Figure 2.3 • Temps de parcours du rayon
lumineux lorsqu’il se réfléchit sur un miroir plan.
;; ;;
y
(S)
O
A
C
a
a
B (x, y, O)
x
Figure 2.4 • Évaluation du chemin parcouru
par un rayon se réfléchissant sur un miroir.