Si V et V
sont les vitesses respectives de déplacement dans les deux milieux séparés par
un plan, on a : V =
c
n
et V
=
c
n . De plus on a toujours : sin i =
y
AB
et sin r =
Y C − y
BC
où i et r sont maintenant les angles que font le rayon incident et le rayon transmis par
rapport à la normale à la surface de séparation.
Comme dans l’exemple précédent, nous devons calculer le temps de parcours de la
lumière et sa dérivée par rapport à y soit :
t =
AB
V
+
BC
V =
X
2
A + y 2
V
+
X
2
C + (Y C − y) 2
V
dt
dy
=
y
V
X
2
A + y 2
−
(Y C − y)
V
X
2
C + (Y C − y) 2
Cette dérivée est nulle si
sin i
V
=
sin r
V , ce qui s’écrit aussi : n sin i = n
sin r .
Les angles d’incidence i et de réfraction r sont donc différents. On établit ainsi qu’à la
traversée d’une surface, la lumière change de direction ; r est défini par la relation
simple n sin i = n
sin r , qui constitue la deuxième loi de Snell-Descartes. On peut définir l’indice de réfraction du deuxième milieu par rapport au premier comme le
rapport des deux indices n r =
n
n
et réécrire la deuxième loi de Snell-Descartes sous la
forme sin i = n r sin r . L’annexe 1 proposée en fin de chapitre est un rappel mathématique sur les fonctions trigonométriques et en particulier sur les propriétés essentielles
de la fonction sinus, indispensables pour manipuler aisément les lois de Snell-Descartes.
Lorsque l’on annule la dérivée d’une expression, on indique seulement l’existence d’un
extremum de la fonction sans en préciser sa nature (minimum ou maximum). Le calcul
du temps de parcours et de l’annulation de sa dérivée nous ont permis d’établir sur deux
exemples les deux lois de Snell-Descartes. Remarquons que nous n’avons jamais eu
besoin de terminer la démonstration établissant si le temps du parcours AC qui vérifie
les lois de Snell-Descartes est minimal ou maximal.
C’est ce que nous nous proposons de faire dans l’encart 2.2 à partir de l’étude de miroirs
plans puis quelconques.
Optique
24
Revenons tout d’abord sur l’exemple du miroir plan. Le temps de parcours a été
donné par :
t =
X
2
A + y 2 +
X
2
C + (Y C − y) 2
V
On a trouvé que sa dérivée première s’annulait pour un point B(0,y) tel que :
y
X
2
A + y 2
=
(Y C − y)
X
2
C + (Y C − y) 2
Cette équation est une équation du second degré en y que l’on peut résoudre. On
obtient pour Y C > 0 :
y =
X A Y C
X A + X C
Le cas Y C < 0 amène au même résultat.
Encart 2.2. Le temps de parcours est-il minimal ou maximal ?
sont les vitesses respectives de déplacement dans les deux milieux séparés par
un plan, on a : V =
c
n
et V
=
c
n . De plus on a toujours : sin i =
y
AB
et sin r =
Y C − y
BC
où i et r sont maintenant les angles que font le rayon incident et le rayon transmis par
rapport à la normale à la surface de séparation.
Comme dans l’exemple précédent, nous devons calculer le temps de parcours de la
lumière et sa dérivée par rapport à y soit :
t =
AB
V
+
BC
V =
X
2
A + y 2
V
+
X
2
C + (Y C − y) 2
V
dt
dy
=
y
V
X
2
A + y 2
−
(Y C − y)
V
X
2
C + (Y C − y) 2
Cette dérivée est nulle si
sin i
V
=
sin r
V , ce qui s’écrit aussi : n sin i = n
sin r .
Les angles d’incidence i et de réfraction r sont donc différents. On établit ainsi qu’à la
traversée d’une surface, la lumière change de direction ; r est défini par la relation
simple n sin i = n
sin r , qui constitue la deuxième loi de Snell-Descartes. On peut définir l’indice de réfraction du deuxième milieu par rapport au premier comme le
rapport des deux indices n r =
n
n
et réécrire la deuxième loi de Snell-Descartes sous la
forme sin i = n r sin r . L’annexe 1 proposée en fin de chapitre est un rappel mathématique sur les fonctions trigonométriques et en particulier sur les propriétés essentielles
de la fonction sinus, indispensables pour manipuler aisément les lois de Snell-Descartes.
Lorsque l’on annule la dérivée d’une expression, on indique seulement l’existence d’un
extremum de la fonction sans en préciser sa nature (minimum ou maximum). Le calcul
du temps de parcours et de l’annulation de sa dérivée nous ont permis d’établir sur deux
exemples les deux lois de Snell-Descartes. Remarquons que nous n’avons jamais eu
besoin de terminer la démonstration établissant si le temps du parcours AC qui vérifie
les lois de Snell-Descartes est minimal ou maximal.
C’est ce que nous nous proposons de faire dans l’encart 2.2 à partir de l’étude de miroirs
plans puis quelconques.
Optique
24
Revenons tout d’abord sur l’exemple du miroir plan. Le temps de parcours a été
donné par :
t =
X
2
A + y 2 +
X
2
C + (Y C − y) 2
V
On a trouvé que sa dérivée première s’annulait pour un point B(0,y) tel que :
y
X
2
A + y 2
=
(Y C − y)
X
2
C + (Y C − y) 2
Cette équation est une équation du second degré en y que l’on peut résoudre. On
obtient pour Y C > 0 :
y =
X A Y C
X A + X C
Le cas Y C < 0 amène au même résultat.
Encart 2.2. Le temps de parcours est-il minimal ou maximal ?