que pour aller de A vers C , la lumière
suit un chemin passant par B tel que le
temps de parcours soit extrémal. Nous
allons donc exprimer la durée du parcours AC et, en annulant sa dérivée,
fixer la coordonnée y du point B .
Comme on ne change pas de milieu, la
vitesse de la lumière est la même sur les
deux segments AB et BC , de longueurs respectives AB =
X
2
A + y 2 et
BC =
X
2
C + (Y C − y) 2 .
On a sin i =
y
AB
et sin j =
Y C − y
BC
où i
et j sont respectivement les angles que
font les rayons incident et réfléchi par
rapport à la normale au miroir. Ils sont ici compris entre 0 et 90°.
Si V est la vitesse de propagation, le temps de parcours et sa dérivée par rapport à y
(coordonnée de B cherchée) sont donnés par :
t =
AB + BC
V
=
X
2
A + y 2 +
X
2
C + (Y C − y) 2
V
dt
dy
=
1
V
y
X
2
A + y 2
−
(Y C − y)
X
2
C + (Y C − y) 2
On obtient une dérivée nulle pour :
y
AB
=
Y C − y
BC
⇒ sin i = sin j soit encore : i = j .
On établit ainsi qu’à la réflexion sur un miroir plan, les angles d’incidence i et de
réflexion j sont égaux. Ceci est encore vérifié lorsque la surface est de forme quelconque et, éventuellement, non totalement réfléchissante. C’est ce que l’on appelle la loi
de la réflexion ou première loi de Snell-Descartes.
1.2. Changement de milieu : transmission
Le même type de démonstration
peut être effectué lorsque la
lumière change de milieu après
avoir rencontré une surface transparente. On dit alors que le rayon
AC est réfracté. Par souci de simplicité on choisira à nouveau une
surface plane située dans le plan
(Ox, Oy) . Les vitesses de déplacement dans les deux milieux
sont différentes car leurs indices
ne sont pas les mêmes (figure
2.2). Dans l’exemple choisi, on a
considéré n > n
.
2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
23
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
; ; ; ; ;
y
B
B'
B
B'
O
A
x
C
j
i
Normale au miroir
Figure 2.1 • La lumière va de A à C
en se réfléchissant en B sur un miroir plan.
La position de B est donnée par le principe
de Fermat.
y
y
B'
B
O
A
x
C
i
Normale à
la surface
r
Y c -- y
Milieu 1
Milieu 2
Vitesse v, indice n
Vitesse v', indice n'
Figure 2.2 • Pour aller de A à C, la lumière traverse la surface
de séparation au point B défini par le principe de Fermat.
suit un chemin passant par B tel que le
temps de parcours soit extrémal. Nous
allons donc exprimer la durée du parcours AC et, en annulant sa dérivée,
fixer la coordonnée y du point B .
Comme on ne change pas de milieu, la
vitesse de la lumière est la même sur les
deux segments AB et BC , de longueurs respectives AB =
X
2
A + y 2 et
BC =
X
2
C + (Y C − y) 2 .
On a sin i =
y
AB
et sin j =
Y C − y
BC
où i
et j sont respectivement les angles que
font les rayons incident et réfléchi par
rapport à la normale au miroir. Ils sont ici compris entre 0 et 90°.
Si V est la vitesse de propagation, le temps de parcours et sa dérivée par rapport à y
(coordonnée de B cherchée) sont donnés par :
t =
AB + BC
V
=
X
2
A + y 2 +
X
2
C + (Y C − y) 2
V
dt
dy
=
1
V
y
X
2
A + y 2
−
(Y C − y)
X
2
C + (Y C − y) 2
On obtient une dérivée nulle pour :
y
AB
=
Y C − y
BC
⇒ sin i = sin j soit encore : i = j .
On établit ainsi qu’à la réflexion sur un miroir plan, les angles d’incidence i et de
réflexion j sont égaux. Ceci est encore vérifié lorsque la surface est de forme quelconque et, éventuellement, non totalement réfléchissante. C’est ce que l’on appelle la loi
de la réflexion ou première loi de Snell-Descartes.
1.2. Changement de milieu : transmission
Le même type de démonstration
peut être effectué lorsque la
lumière change de milieu après
avoir rencontré une surface transparente. On dit alors que le rayon
AC est réfracté. Par souci de simplicité on choisira à nouveau une
surface plane située dans le plan
(Ox, Oy) . Les vitesses de déplacement dans les deux milieux
sont différentes car leurs indices
ne sont pas les mêmes (figure
2.2). Dans l’exemple choisi, on a
considéré n > n
.
2 • Du principe de Fermat aux lois de Snell-Descartes
23
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
; ; ; ; ;
y
B
B'
B
B'
O
A
x
C
j
i
Normale au miroir
Figure 2.1 • La lumière va de A à C
en se réfléchissant en B sur un miroir plan.
La position de B est donnée par le principe
de Fermat.
y
y
B'
B
O
A
x
C
i
Normale à
la surface
r
Y c -- y
Milieu 1
Milieu 2
Vitesse v, indice n
Vitesse v', indice n'
Figure 2.2 • Pour aller de A à C, la lumière traverse la surface
de séparation au point B défini par le principe de Fermat.