La formulation générale du principe de Fermat est présentée dans l’encart 2.1.
Optique
22
Soit dl le déplacement élémentaire du chemin géométrique effectué pour aller
de A vers C dans un milieu d’indice n. Ce dernier peut varier d’un point à l’autre
du milieu. La longueur dl parcourue pendant le temps élémentaire dt est
dt =
dl
V
= n(l)
dl
c
.
La durée du parcours AC est donc t =
1
c
C
A
n(l)dl . Elle s’écrit aussi t =
L AC
c
; on
appelle L AC =
C
A
n(l)dl le chemin optique de A à C .
Le principe de Fermat s’énonce donc sous sa forme générale comme :
Parmi toutes les trajectoires possibles, celle effectivement suivie par un rayon lumineux correspond à un chemin optique L extrémal.
Encart 2.1. Forme générale du principe de Fermat
Il paraît évident que, si la lumière se propage dans un milieu donné (vide ou matériel)
transparent isotrope et homogène, n(l) est une constante. Le temps de parcours est
alors minimal et correspond à une propagation rectiligne, quel que soit le sens adopté
par la lumière. Le principe de Fermat permet donc de démontrer le principe de la propagation rectiligne. Nous allons montrer sur deux exemples qu’il permet aussi de prévoir les phénomènes de réflexion et de réfraction d’un rayon lumineux se propageant
dans deux milieux différents et d’établir simplement les lois de Snell-Descartes. Notons
qu’il s’agit dans ce cas d’une inhomogénéité particulière de l’indice qui passe brutalement d’une valeur n à une autre valeur n
.
Il est entendu que, si le dioptre est totalement réfléchissant (comme un miroir), le rayon
incident ne subit qu’une réflexion. Dans le cas d’un dioptre transparent, le rayon incident traverse la surface et subit aussi une « réfraction ». L’amplitude du rayon réfracté
est en général bien plus importante que celle du rayon réfléchi (ces amplitudes peuvent
être calculées dans le cadre de l’électromagnétisme).
1.1. Réflexion sur un miroir plan
Considérons tout d’abord un miroir plan, objet simple et familier (figure 2.1). Il est totalement réfléchissant pour le rayonnement utilisé et permet d’illustrer le phénomène de
réflexion. Nous allons étudier de quelle manière se propage la lumière d’un point A
vers un point C fixés, après s’être réfléchie sur le miroir plan en un point B dont on
déterminera la position. Plusieurs chemins sont a priori possibles. Sur la figure 2.1, nous
avons représenté deux chemins différents, passant par B ou B
. En appliquant le principe de Fermat au temps de parcours du rayon AC , il est possible de déterminer les
coordonnées du point d’impact réel de la lumière sur le miroir, correspondant effectivement à celui du chemin réel.
Les trois points A , B et C définissent un plan que l’on choisira comme étant (Ox, Oy) .
Connaissant les coordonnées des points de départ A(X A ,0) et d’arrivée C(X C ,Y C ) , on
cherche à déterminer le point B(0,y) qui vérifie le principe de Fermat 1 . Ce principe dit
1. Prendre le point B en x = 0 simplifie la discussion sans lui enlever sa généralité.
Optique
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Soit dl le déplacement élémentaire du chemin géométrique effectué pour aller
de A vers C dans un milieu d’indice n. Ce dernier peut varier d’un point à l’autre
du milieu. La longueur dl parcourue pendant le temps élémentaire dt est
dt =
dl
V
= n(l)
dl
c
.
La durée du parcours AC est donc t =
1
c
C
A
n(l)dl . Elle s’écrit aussi t =
L AC
c
; on
appelle L AC =
C
A
n(l)dl le chemin optique de A à C .
Le principe de Fermat s’énonce donc sous sa forme générale comme :
Parmi toutes les trajectoires possibles, celle effectivement suivie par un rayon lumineux correspond à un chemin optique L extrémal.
Encart 2.1. Forme générale du principe de Fermat
Il paraît évident que, si la lumière se propage dans un milieu donné (vide ou matériel)
transparent isotrope et homogène, n(l) est une constante. Le temps de parcours est
alors minimal et correspond à une propagation rectiligne, quel que soit le sens adopté
par la lumière. Le principe de Fermat permet donc de démontrer le principe de la propagation rectiligne. Nous allons montrer sur deux exemples qu’il permet aussi de prévoir les phénomènes de réflexion et de réfraction d’un rayon lumineux se propageant
dans deux milieux différents et d’établir simplement les lois de Snell-Descartes. Notons
qu’il s’agit dans ce cas d’une inhomogénéité particulière de l’indice qui passe brutalement d’une valeur n à une autre valeur n
.
Il est entendu que, si le dioptre est totalement réfléchissant (comme un miroir), le rayon
incident ne subit qu’une réflexion. Dans le cas d’un dioptre transparent, le rayon incident traverse la surface et subit aussi une « réfraction ». L’amplitude du rayon réfracté
est en général bien plus importante que celle du rayon réfléchi (ces amplitudes peuvent
être calculées dans le cadre de l’électromagnétisme).
1.1. Réflexion sur un miroir plan
Considérons tout d’abord un miroir plan, objet simple et familier (figure 2.1). Il est totalement réfléchissant pour le rayonnement utilisé et permet d’illustrer le phénomène de
réflexion. Nous allons étudier de quelle manière se propage la lumière d’un point A
vers un point C fixés, après s’être réfléchie sur le miroir plan en un point B dont on
déterminera la position. Plusieurs chemins sont a priori possibles. Sur la figure 2.1, nous
avons représenté deux chemins différents, passant par B ou B
. En appliquant le principe de Fermat au temps de parcours du rayon AC , il est possible de déterminer les
coordonnées du point d’impact réel de la lumière sur le miroir, correspondant effectivement à celui du chemin réel.
Les trois points A , B et C définissent un plan que l’on choisira comme étant (Ox, Oy) .
Connaissant les coordonnées des points de départ A(X A ,0) et d’arrivée C(X C ,Y C ) , on
cherche à déterminer le point B(0,y) qui vérifie le principe de Fermat 1 . Ce principe dit
1. Prendre le point B en x = 0 simplifie la discussion sans lui enlever sa généralité.