Si par exemple on photographie le Soleil avec un appareil photographique dont l’objectif, qui joue le rôle de pupille d’entrée, a un diamètre de 50 mm, on a O = 0,05 m . d est
la distance Terre-Soleil, égale à 150 · 10
6 km . On trouve α = 1,6 · 10
−13 rad et
L = 2 · 10
7 W.m
−2
.st
−1 , soit φ = π × 2 · 10
7
(1,6 · 10
−13
)
2
× 1,5 · 10
11
= 2,6 W.
Le flux lumineux traverse le système en subissant un affaiblissement causé par les
réflexions parasites à la surface des lentilles et par les absorptions à l’intérieur des lentilles. On introduit un coefficient de transmission τ qui traduit le fait qu’une partie de
l’intensité incidente est perdue. C’est donc une quantité toujours inférieure à 1. Dans un
système composé de n lentilles, à chaque traversée de lentille, environ 10 % de la puissance est perdue par réflexion et par absorption ; la fraction de lumière transmise appelée transmission est donc égale τ ≈ (0,9)
n ; τ = 0,81 pour n = 2 ; 0,56 pour n = 3 . Si φ
est le flux qui atteint l’image, on peut écrire :
φ
= φτ = π L Sτ α
2
Sur l’image S
, on reçoit donc un éclairement :
E =
φ
S = τ π L
S
S α
2
où S
est la surface de l’image. Les dimensions des objets et images sont reliées par la
relation de Lagrange-Helmholtz établie dans l’encart 10.11. Elle s’écrit
A B
AB
=
αn
α n . Si γ
est le grandissement transversal, les surfaces des objets et des images sont dans un rapport
γ
2 et l’on a :
S
S
= γ
2
=
αn
α n
2
Optique
308
La relation de Lagrange-Helmholtz permet de calculer l’ouverture des faisceaux arrivant sur l’image. On a représenté sur la figure 10.26 un rayon AI qui se réfracte en I
à travers un dioptre sphérique et passe par l’image A
. En A et en A
, il fait avec
l’axe principal des angles u et u
. Dans l’approximation de Gauss, on peut confondre
H avec S . En tenant compte de l’orientation des angles, on exprime la quantité S I
de deux manières différentes :
S I ≈ H I = AS tan u = A S tan u
≈ −u S A = −u
S A
D’après la définition du grandissement, on exprime le rapport
des distances p et p
en fonction
de n, n
et γ comme :
p
p
=
S A
S A
=
n
γ
n
=
n
A B
n AB
On obtient ainsi la formule dite
« de Lagrange-Helmholtz » :
n
u
A B = nu AB
Encart 10.11. La relation de Lagrange-Helmholtz
B
A
C
H
S F'
I
A'
B'
u
u'
Figure 10.26 • Angles des faisceaux incident
et réfracté par rapport à l’axe principal.
la distance Terre-Soleil, égale à 150 · 10
6 km . On trouve α = 1,6 · 10
−13 rad et
L = 2 · 10
7 W.m
−2
.st
−1 , soit φ = π × 2 · 10
7
(1,6 · 10
−13
)
2
× 1,5 · 10
11
= 2,6 W.
Le flux lumineux traverse le système en subissant un affaiblissement causé par les
réflexions parasites à la surface des lentilles et par les absorptions à l’intérieur des lentilles. On introduit un coefficient de transmission τ qui traduit le fait qu’une partie de
l’intensité incidente est perdue. C’est donc une quantité toujours inférieure à 1. Dans un
système composé de n lentilles, à chaque traversée de lentille, environ 10 % de la puissance est perdue par réflexion et par absorption ; la fraction de lumière transmise appelée transmission est donc égale τ ≈ (0,9)
n ; τ = 0,81 pour n = 2 ; 0,56 pour n = 3 . Si φ
est le flux qui atteint l’image, on peut écrire :
φ
= φτ = π L Sτ α
2
Sur l’image S
, on reçoit donc un éclairement :
E =
φ
S = τ π L
S
S α
2
où S
est la surface de l’image. Les dimensions des objets et images sont reliées par la
relation de Lagrange-Helmholtz établie dans l’encart 10.11. Elle s’écrit
A B
AB
=
αn
α n . Si γ
est le grandissement transversal, les surfaces des objets et des images sont dans un rapport
γ
2 et l’on a :
S
S
= γ
2
=
αn
α n
2
Optique
308
La relation de Lagrange-Helmholtz permet de calculer l’ouverture des faisceaux arrivant sur l’image. On a représenté sur la figure 10.26 un rayon AI qui se réfracte en I
à travers un dioptre sphérique et passe par l’image A
. En A et en A
, il fait avec
l’axe principal des angles u et u
. Dans l’approximation de Gauss, on peut confondre
H avec S . En tenant compte de l’orientation des angles, on exprime la quantité S I
de deux manières différentes :
S I ≈ H I = AS tan u = A S tan u
≈ −u S A = −u
S A
D’après la définition du grandissement, on exprime le rapport
des distances p et p
en fonction
de n, n
et γ comme :
p
p
=
S A
S A
=
n
γ
n
=
n
A B
n AB
On obtient ainsi la formule dite
« de Lagrange-Helmholtz » :
n
u
A B = nu AB
Encart 10.11. La relation de Lagrange-Helmholtz
B
A
C
H
S F'
I
A'
B'
u
u'
Figure 10.26 • Angles des faisceaux incident
et réfracté par rapport à l’axe principal.