Optique
18
Solutions
a) R(2 + α) = 278,54 m et non 4 700 m , car α doit être exprimé en radians.
b) tan α = d/D = 8,854166 · 10
−3 . α = 8,853935 · 10
−3 radians = 0,507293
◦
= 30,437 ’.
c) 2 min 18 s = 138 s = 2,3 min = 3,8333 · 10
−2 h .
La terre faisant 360° en 24 heures, on a aussi 2 min 18 s = 0,575° = 34,5’ = 2070” = 0,0100356
radians.
a) AC =
AB
tan h
= 3,117 m
b) AC
=
AB
tan 30,5
= 3,055 m . La pénombre est donnée par :
CC
= AC − AC
= 6,12 cm .
c) Le calcul de la pénombre au niveau de la taille se fait comme précédemment :
D
D
= AD
− AD
= AD
1
tan 30
−
1
tan 30,5
= 3,44 cm .
L’ombre est également un disque ;
Si D
est la dimension de l’ombre,
on a :
D
SO
=
D
SO ,
ce qui donne D
= 3 cm .
Si α est l’angle au sommet, on a
tan
α
2
=
D
2SO , soit α = 0,57
◦ .
a) Le demi-angle α du cône d’ombre est tel que : tan α =
R
l + D
=
r
l
, soit l =
r D
R − r
.
b) De même, tan α =
ρ 1
l − d
=
r
l
, soit : ρ 1 =
r D − d R + dr
D
.
En posant O O
= x , on a tan β =
R
D − x
=
r
x
=
ρ 2
d + x
,
soit, en éliminant x, ρ 2 =
r D + d R + rd
D
.
c) l = 1 397 686 km ; ρ 1 = 4 620 km et ρ 2 = 8 153 km .
d) l = 370 478 km ; Si d = 349 000 km , ρ 1 = 98,5 km et ρ 2 = 3 309 km .
Si d = 384 000 km , d > l , ce qui conduit à une structure d’ombre différente, indiquée sur la
figure ci-après. Le diamètre du cône d’ombre est donné par : tan α = −
ρ 1
l − d
=
r
l
, soit
ρ 1 = −
r D − d R + dr
D
. La structure de pénombre (non représentée) n’est pas changée.
4
3
2
1
Source
S
D
O
O' D'
Ombre
E