est donnée dans le chapitre 5 et s’écrit dans ce cas : f
1 = S 1 F
1 = R
n
n − 1
= 3R . En l’absence
du deuxième dioptre plan, le rayon irait en F
1 .
2) Le rayon traverse ensuite le dioptre plan en J où
il subit une réfraction.
Dans les triangles J C 1 F
L 1
et J C 1 F
1 , et avec l’approximation des petits angles, on a respectivement :
tan i ≈ i =
J C 1
C 1 F
1
et tan r ≈ r =
J C 1
C 1 F
L 1
. Par ailleurs,
les lois de Snell-Descartes donnent dans cette
approximation n i ≈ r . On en déduit :
C 1 F
L 1
=
C 1 F
1
n
=
C 1 S 1 + S 1 F
1
n
=
4R
3
.
3) La distance focale image d’une lentille épaisse est donnée par
1
f
L 1
= (n − 1)
1
r 1
−
1
r 2
+ e
(n − 1)
2
nr 1 r 2
,
avec n = 3/2 , r 1 = R , r 2 = ∞ et e = R . On en tire f
L 1
= 2R .
4) Cette distance focale est reliée au point principal H
1 par la relation f
L 1
= H
1 F
L 1
. On a
donc C 1 H = C 1 F
L 1
+ F
L 1
H
1 = −
2R
3
.
b) 1) Cette deuxième lentille se comporte de façon symétrique par rapport à la première. Le
rayon du deuxième dioptre sphérique est cette fois-ci égal à r 2 = −R . Un faisceau entrant
parallèlement à l’axe traverse le dioptre plan sans déviation, converge en F
2 , foyer image du
deuxième dioptre. Inversement, un faisceau émergent de la lentille vient de son foyer
objet F L 2 . Par symétrie, on a, pour la deuxième lentille épaisse, f 2 = S 2 F 2 = − f
1 = −3R .
Ceci donne donc F L 2 C 2 =
4
3
R . De même, f
L 2
= f
L 1
= 2R . On en tire
= F
L 1
F L 2 = C 1 C 2 − C 1 F
L 1
− F L 2 C 2 = d −
8R
3
.
8 • Les combinaisons ou associations
251
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
S 1
C 1 F' L1
F' 1
n
I
J
i
r r i
2) La distance focale résultante vaut f
= −
f
L 1
f
L 2
=
4R
2
8R
3
− d
.
3) Dans le cas d’une lentille boule, les deux lentilles épaisses L 1 et L 2 sont accolées (d = 0 )
et f
=
3R
2
. Pour faire un calcul direct, il faut considérer qu’il n’y a plus de séparation par un
dioptre plan. Il s’agit donc de l’association de deux dioptres sphériques de distances
focales respectives f
1 = − f 2 = 3R , f 1 = − f
2 = −2R . Le calcul direct donne
f
= −
f
1 f
2
e − f
1 + f 2
=
3R
2
, avec e = 2R .
C 2
S 2
F' 2
n
C 2
S 2
F L2
F 2
n
1 = S 1 F
1 = R
n
n − 1
= 3R . En l’absence
du deuxième dioptre plan, le rayon irait en F
1 .
2) Le rayon traverse ensuite le dioptre plan en J où
il subit une réfraction.
Dans les triangles J C 1 F
L 1
et J C 1 F
1 , et avec l’approximation des petits angles, on a respectivement :
tan i ≈ i =
J C 1
C 1 F
1
et tan r ≈ r =
J C 1
C 1 F
L 1
. Par ailleurs,
les lois de Snell-Descartes donnent dans cette
approximation n i ≈ r . On en déduit :
C 1 F
L 1
=
C 1 F
1
n
=
C 1 S 1 + S 1 F
1
n
=
4R
3
.
3) La distance focale image d’une lentille épaisse est donnée par
1
f
L 1
= (n − 1)
1
r 1
−
1
r 2
+ e
(n − 1)
2
nr 1 r 2
,
avec n = 3/2 , r 1 = R , r 2 = ∞ et e = R . On en tire f
L 1
= 2R .
4) Cette distance focale est reliée au point principal H
1 par la relation f
L 1
= H
1 F
L 1
. On a
donc C 1 H = C 1 F
L 1
+ F
L 1
H
1 = −
2R
3
.
b) 1) Cette deuxième lentille se comporte de façon symétrique par rapport à la première. Le
rayon du deuxième dioptre sphérique est cette fois-ci égal à r 2 = −R . Un faisceau entrant
parallèlement à l’axe traverse le dioptre plan sans déviation, converge en F
2 , foyer image du
deuxième dioptre. Inversement, un faisceau émergent de la lentille vient de son foyer
objet F L 2 . Par symétrie, on a, pour la deuxième lentille épaisse, f 2 = S 2 F 2 = − f
1 = −3R .
Ceci donne donc F L 2 C 2 =
4
3
R . De même, f
L 2
= f
L 1
= 2R . On en tire
= F
L 1
F L 2 = C 1 C 2 − C 1 F
L 1
− F L 2 C 2 = d −
8R
3
.
8 • Les combinaisons ou associations
251
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
S 1
C 1 F' L1
F' 1
n
I
J
i
r r i
2) La distance focale résultante vaut f
= −
f
L 1
f
L 2
=
4R
2
8R
3
− d
.
3) Dans le cas d’une lentille boule, les deux lentilles épaisses L 1 et L 2 sont accolées (d = 0 )
et f
=
3R
2
. Pour faire un calcul direct, il faut considérer qu’il n’y a plus de séparation par un
dioptre plan. Il s’agit donc de l’association de deux dioptres sphériques de distances
focales respectives f
1 = − f 2 = 3R , f 1 = − f
2 = −2R . Le calcul direct donne
f
= −
f
1 f
2
e − f
1 + f 2
=
3R
2
, avec e = 2R .
C 2
S 2
F' 2
n
C 2
S 2
F L2
F 2
n