Solutions
a) On applique à chacun des dioptres la formule de conjugaison du dioptre sphérique :
n
p −
n
p
=
n
− n
r
. Si on note p i et p
i les distances image et objet pour le dioptre i , les trois
formules de conjugaison donnent :
n 1
p
1
−
n 0
p 1
=
n 1 − n 0
r 1
;
n 2
p
2
−
n 1
p 2
=
n 2 − n 1
r 2
;
n 3
p
3
−
n 2
p 3
=
n 3 − n 2
r 3
.
Si les dioptres forment des lentilles minces, leurs sommets sont confondus et on a p
1 = p 2 et
p
2 = p 3 . En additionnant entre elles les trois formules ci-dessus, on trouve la formule de
conjugaison de la lentille résultante :
n 3
p
3
−
n 0
p 1
=
n 1 − n 0
r 1
+
n 2 − n 1
r 2
+
n 3 − n 2
r 3
= 1 + 2 + 3 = .
b) Avec n 0 = n 1 = n 3 = 1 et n 2 = 3/2 , le premier
dioptre (de rayon r 1 ) n’existe plus.
Il n’y en a donc plus que deux : le premier, de rayon
r 2 > 0 , sépare un milieu d’indice 1 d’un milieu d’indice 3/2 ; le deuxième, de rayon r 3 > 0 , sépare un
milieu d’indice 3/2 d’un milieu d’indice 1. On trouve
=
n 2 − 1
r 2
+
1 − n 2
r 3
= 2,5 δ . La distance focale f
vaut : f
=
1
= 40 cm .
c) Si l’on remplit d’eau la partie supérieure de la lentille, on retrouve trois dioptres : le premier dioptre est un dioptre air-eau, plan (r 1 → ∞ ). On trouve alors, avec n 1 = 4/3 ,
= −0,833 δ , soit f
= −1,20 m .
Le rayon traverse successivement deux dioptres :
• Le premier dioptre, de sommet S 1 , est sphérique avec
r = 1 cm . L’objet réel A est à une distance telle que
p 1 = −2 cm . L’image A
à travers ce premier dioptre est
donnée par la formule de conjugaison, avec n = 1 et
n
= 4/3 . On a : p
1 = S 1 A = −8 cm .
• Le deuxième dioptre est plan. Son rayon est donc infini. Si
l’on appelle S 2 le sommet de ce deuxième dioptre,
p 2 = S 2 A = S 2 S 1 + S 1 A = −18 cm . La formule de conjugaison du dioptre plan (np
2 = n
p 2 ), avec n = 4/3 et
n
= 1 , donne p
2 = S 2 A = −13,5 cm .
L’image de A à travers le tube à essai rempli de 10 cm d’eau
est donc située en A
à 3,5 cm du fond du tube à essai.
a) 1) Pour le premier dioptre de rayon +R , le rayon va d’un milieu d’indice égal à 1 vers
un milieu d’indice égal à n . La formule permettant de trouver sa distance focale image
3
2
1
Optique
250
r 3
n 2
A
A'
S 1
S 2
--3,5 cm
n'
a) On applique à chacun des dioptres la formule de conjugaison du dioptre sphérique :
n
p −
n
p
=
n
− n
r
. Si on note p i et p
i les distances image et objet pour le dioptre i , les trois
formules de conjugaison donnent :
n 1
p
1
−
n 0
p 1
=
n 1 − n 0
r 1
;
n 2
p
2
−
n 1
p 2
=
n 2 − n 1
r 2
;
n 3
p
3
−
n 2
p 3
=
n 3 − n 2
r 3
.
Si les dioptres forment des lentilles minces, leurs sommets sont confondus et on a p
1 = p 2 et
p
2 = p 3 . En additionnant entre elles les trois formules ci-dessus, on trouve la formule de
conjugaison de la lentille résultante :
n 3
p
3
−
n 0
p 1
=
n 1 − n 0
r 1
+
n 2 − n 1
r 2
+
n 3 − n 2
r 3
= 1 + 2 + 3 = .
b) Avec n 0 = n 1 = n 3 = 1 et n 2 = 3/2 , le premier
dioptre (de rayon r 1 ) n’existe plus.
Il n’y en a donc plus que deux : le premier, de rayon
r 2 > 0 , sépare un milieu d’indice 1 d’un milieu d’indice 3/2 ; le deuxième, de rayon r 3 > 0 , sépare un
milieu d’indice 3/2 d’un milieu d’indice 1. On trouve
=
n 2 − 1
r 2
+
1 − n 2
r 3
= 2,5 δ . La distance focale f
vaut : f
=
1
= 40 cm .
c) Si l’on remplit d’eau la partie supérieure de la lentille, on retrouve trois dioptres : le premier dioptre est un dioptre air-eau, plan (r 1 → ∞ ). On trouve alors, avec n 1 = 4/3 ,
= −0,833 δ , soit f
= −1,20 m .
Le rayon traverse successivement deux dioptres :
• Le premier dioptre, de sommet S 1 , est sphérique avec
r = 1 cm . L’objet réel A est à une distance telle que
p 1 = −2 cm . L’image A
à travers ce premier dioptre est
donnée par la formule de conjugaison, avec n = 1 et
n
= 4/3 . On a : p
1 = S 1 A = −8 cm .
• Le deuxième dioptre est plan. Son rayon est donc infini. Si
l’on appelle S 2 le sommet de ce deuxième dioptre,
p 2 = S 2 A = S 2 S 1 + S 1 A = −18 cm . La formule de conjugaison du dioptre plan (np
2 = n
p 2 ), avec n = 4/3 et
n
= 1 , donne p
2 = S 2 A = −13,5 cm .
L’image de A à travers le tube à essai rempli de 10 cm d’eau
est donc située en A
à 3,5 cm du fond du tube à essai.
a) 1) Pour le premier dioptre de rayon +R , le rayon va d’un milieu d’indice égal à 1 vers
un milieu d’indice égal à n . La formule permettant de trouver sa distance focale image
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1
Optique
250
r 3
n 2
A
A'
S 1
S 2
--3,5 cm
n'