8 • Les combinaisons ou associations
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Les matrices de réfraction R =
A B
C D
sont souvent appelées aussi matrices
ABC D. On va voir qu’il est possible de retrouver simplement les éléments cardinaux
d’une association. Considérons un système composé de plusieurs éléments simples,
décrits par les matrices M 1 , M 2 , ..., M n . On a alors :
I
=
y
α
= M n M n−1 . . . M 1
y
α
= R I .
Ainsi, si on associe deux lentilles minces accolées,
M i =
1
0
−φ i 1
et R =
1
0
−φ 1 − φ 2 1
=
1 0
−φ 1
.
L’association de deux lentilles minces accolées de vergences respectives φ 1 et φ 2
résulte en une lentille mince de vergence φ = φ 1 + φ 2 .
Si ces deux lentilles ne sont pas accolées et distantes de e,
R = M 3 M 2 M 1
=
1
0
−φ 2 1
1 e
0 1
1
0
−φ 1 1
=
1 − eφ 1
e
−φ 2 − φ 1 + eφ 1 φ 2 1 − eφ 2
.
La vergence du système équivalent est C = −φ = −φ 1 − φ 2 + eφ 1 φ 2 , ce qui permet
d’en déduire H F = −
1
φ
et H F =
1
φ
. Par ailleurs, on peut montrer que
S 1 H =
e f 1
=
D − 1
C
, S 2 H =
e f
2
=
1 − A
C
. On peut donc positionner les quatre
éléments cardinaux d’une association à partir des éléments de la matrice ABC D.
Cette propriété est généralisable à tout cas d’association, quel que soit le nombre
d’éléments simples constitutifs. Utiliser ce formalisme matriciel permet, lorsqu’il y a
plus de deux éléments simples à associer, de simplifier considérablement le calcul
formel.
Encart 8.5. Points cardinaux et matrices ABCD