Dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut confondre H avec S et nous
avons évidemment :
y
= y = −pα = −p
α
En combinant l’équation de conjugaison du dioptre sphérique
n
p −
n
p
=
n
− n
r
et les
équations donnant p et p
en fonction de α et α
, on trouve : α
=
n
n α −
n
− n
n r
y .
Cette relation s’écrit sous forme matricielle :
I
=
y
α
=
1
0
−
n
− n
n r
n
n
y
α
= R
y
α
= R I
où R est appelée matrice de réfraction. R est souvent écrire sous la forme
A B
C D
.
Remarquons à ce stade que le terme de la deuxième ligne et de la première colonne de la
matrice R (soit C) n’est autre que −1/ f
. Dans le cas du dioptre plan, il tend vers zéro.
Il nous reste maintenant à écrire la matrice
prenant en compte l’écart e entre les sommets des deux dioptres (figure 8.17).
Ceci revient à définir la matrice T qui
représente le déplacement d’un rayon
dans un milieu homogène. L’angle α ne
varie pas (α
= α ) et dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut
écrire : y
= y + αe , où e est le déplacement. La matrice de translation T s’écrit
donc :
I
=
y
α
=
1 e
0 1
y
α
= T
y
α
= T I
Ainsi, pour étudier un système formé d’éléments de matrice de réfraction R 1 , R 2 ,... , il
suffit d’écrire des produits matriciels en intercalant à chaque étape la matrice de translation appropriée tout en respectant l’ordre dans lequel le rayon rencontre les différents
éléments. En effet, le produit matriciel n’est pas commutatif. L’exemple de la lentille
épaisse illustre ce point.
12.2. Exemple de la lentille épaisse
Dans une lentille épaisse, il y a deux
dioptres séparés d’une distance e . Le problème se ramène donc à l’écriture des
deux matrices de réfraction R 1 et R 2 et
d’une matrice de translation T entre les
deux dioptres (figure 8.18). Si r 1 et r 2 sont
les rayons de courbure des deux dioptres et
n 0 l’indice de la lentille, nous avons :
R 1 =
⎛
⎝
1
0
−
n 0 − 1
n 0 r 1
1
n 0
⎞
⎠ , R 2 =
⎛
⎝
1
0
−
1 − n 0
r 2
n 0
⎞
⎠ , T =
1 e
0 1
8 • Les combinaisons ou associations
235
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
y
e
y'
α
α'
Figure 8.17 • Définition des paramètres
de la matrice de translation.
α
α'
e
R 1
R 2
T
Figure 8.18 • Décomposition de la lentille épaisse
avec les matrices.
avons évidemment :
y
= y = −pα = −p
α
En combinant l’équation de conjugaison du dioptre sphérique
n
p −
n
p
=
n
− n
r
et les
équations donnant p et p
en fonction de α et α
, on trouve : α
=
n
n α −
n
− n
n r
y .
Cette relation s’écrit sous forme matricielle :
I
=
y
α
=
1
0
−
n
− n
n r
n
n
y
α
= R
y
α
= R I
où R est appelée matrice de réfraction. R est souvent écrire sous la forme
A B
C D
.
Remarquons à ce stade que le terme de la deuxième ligne et de la première colonne de la
matrice R (soit C) n’est autre que −1/ f
. Dans le cas du dioptre plan, il tend vers zéro.
Il nous reste maintenant à écrire la matrice
prenant en compte l’écart e entre les sommets des deux dioptres (figure 8.17).
Ceci revient à définir la matrice T qui
représente le déplacement d’un rayon
dans un milieu homogène. L’angle α ne
varie pas (α
= α ) et dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut
écrire : y
= y + αe , où e est le déplacement. La matrice de translation T s’écrit
donc :
I
=
y
α
=
1 e
0 1
y
α
= T
y
α
= T I
Ainsi, pour étudier un système formé d’éléments de matrice de réfraction R 1 , R 2 ,... , il
suffit d’écrire des produits matriciels en intercalant à chaque étape la matrice de translation appropriée tout en respectant l’ordre dans lequel le rayon rencontre les différents
éléments. En effet, le produit matriciel n’est pas commutatif. L’exemple de la lentille
épaisse illustre ce point.
12.2. Exemple de la lentille épaisse
Dans une lentille épaisse, il y a deux
dioptres séparés d’une distance e . Le problème se ramène donc à l’écriture des
deux matrices de réfraction R 1 et R 2 et
d’une matrice de translation T entre les
deux dioptres (figure 8.18). Si r 1 et r 2 sont
les rayons de courbure des deux dioptres et
n 0 l’indice de la lentille, nous avons :
R 1 =
⎛
⎝
1
0
−
n 0 − 1
n 0 r 1
1
n 0
⎞
⎠ , R 2 =
⎛
⎝
1
0
−
1 − n 0
r 2
n 0
⎞
⎠ , T =
1 e
0 1
8 • Les combinaisons ou associations
235
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
y
e
y'
α
α'
Figure 8.17 • Définition des paramètres
de la matrice de translation.
α
α'
e
R 1
R 2
T
Figure 8.18 • Décomposition de la lentille épaisse
avec les matrices.