On peut donc écrire :
σ σ
= f f
= ( p − f )( p
− f
) d’où p f
+ p
f = pp
soit :
f
p +
f
p
= 1
qui est la formule de Descartes. L’encart 8.1 montre la nécessité du choix d’origine en H
et H
caractérisés par un grandissement égal à 1. On les appelle les points principaux ;
les plans principaux sont les plans passant par ces points, perpendiculaires à l’axe principal.
Optique
226
Considérons deux points conjugués M et M
et choisissons-les comme origines pour
la définition de p , p
, f et f
. On a alors :
σ = F A = F M + M A = F M + p et σ
= F A = F M + M A = F M + p
Si l’on pose : M F = α et M F = α
, on trouve :
σ σ
= ( p
− α
)( p − α) = pp
− pα
− p
α + αα
= f f
Les deux points M et M
étant quelconques, mais conjugués, on peut choisir un
point particulierM tel que p = 0 , ce qui entraîne p
= 0 (un autre choix compliquerait le calcul). On obtient alors, en reportant dans l’expression précédente :
f f
= αα
, ce qui amène :
pp
= pα
+ p
α qui s’écrit aussi :
α
p +
α
p
= 1
Cette relation reste valable quel que soit le point M choisi. Pour que ce soit la relation de Descartes, il faut que α = f et α
= f
. Comme f = H F et f
= H F , on a
bien M ≡ H et M
≡ H
. Alors, on a :
γ = −
f
σ
= −
f
p − f
= 1
Les points H et H
sont bien les seuls satisfaisant à la relation de Descartes et sont
caractérisés par un grandissement égal à 1.
Encart 8.1. Nécessité du choix des points principaux pour écrire la relation de Descartes
Un doublet possède deux plans conjugués passant par H et H
tels que le grandissement γ soit égal à 1.
Si l’on repère les foyers objet F et image F
par rapport aux points H et H
, les quantités algébriques correspondantes sont les distances focales : H F = f et H F = f
.
Les deux distances p = H A et p
= H A satisfont la relation de Descartes :
f
p +
f
p
= 1 ou
H F
H A
+
H F
H A
= 1
Les quatre éléments H, H
, F et F
constituent les éléments cardinaux du doublet.