Compte tenu de ces relations, le grandissement transversal γ , qui est toujours donné par
la relation générale γ = −
p
f
p f , s’écrit aussi :
γ = −
f
f
σ
+ f
σ + f
= −
f
f
σ
+ f
f f
σ + f
= −
σ
f = −
f
σ
Enfin, le grandissement longitudinal g s’écrit en différentiant la relation de Descartes :
g =
dp
dp
= −
p
p
2 f
f = −γ
2 f
f
Nous pouvons remarquer que, pour un élément vérifiant la relation de Newton, le grandissement γ permet de définir les distances focales ; cette propriété sera exploitée par la
suite afin de définir les distances focales d’un doublet.
3. MISE EN ÉQUATION D’UN DOUBLET QUELCONQUE
Considérons deux éléments optiques quelconques (dont il n’est pas nécessaire de préciser la nature) de sommets respectifs S 1 et S 2 , séparés d’une distance e . Ces sommets sont
alignés de sorte que leurs axes principaux soient confondus, constituant ainsi l’axe principal d’un système centré.
D’un point objet A situé sur l’axe, on obtient
une image A
à travers le premier élément de
sommet S 1 , puis une nouvelle image A
à travers l’élément de sommet S 2 . Les différentes
distances utilisées sont définies sur la figure
8.2. Les relations de conjugaison écrites pour
chacun des éléments du doublet sont :
f
1
p
1
+
f 1
p 1
= 1 et
f
2
p
2
+
f 2
p 2
= 1
ce qui donne :
p
1 =
p 1 f
1
p 1 − f 1
et p 2 =
p
2 f 2
p
2 − f
2
(1)
Or, p
1 et p 2 sont reliés à la distance définie par e = S 1 S 2 = S 1 A + A S 2 = p
1 − p 2 .
Si l’on injecte les deux expressions précédentes dans celle de e , on peut écrire :
p 1 p
2 (e − f
1 + f 2 ) + p 1 f
2 ( f
1 − e) − p
2 f 1 ( f 2 + e) + e f 1 f
2 = 0
On peut par exemple en tirer l’expression de p 1 en fonction de p
2 :
p 1 =
p
2 f 1 ( f 2 + e) − e f 1 f
2
p
2 (e − f
1 + f 2 ) + f
2 ( f
1 − e)
(2)
Cette expression qui relie les positions d’un objet et de son image à travers le doublet est
donc une relation de conjugaison. Bien qu’elle soit compliquée, nous allons voir qu’elle
permet néanmoins de déterminer la position des foyers du doublet par rapport aux sommets S 1 et S 2 .
8 • Les combinaisons ou associations
221
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
A
A ' '
A '
e
p' 1
S 1
S 2
p' 2
p 1
p 2
Figure 8.2 • Système optique centré contenant
deux éléments de sommets S 1 et S 2 .
la relation générale γ = −
p
f
p f , s’écrit aussi :
γ = −
f
f
σ
+ f
σ + f
= −
f
f
σ
+ f
f f
σ + f
= −
σ
f = −
f
σ
Enfin, le grandissement longitudinal g s’écrit en différentiant la relation de Descartes :
g =
dp
dp
= −
p
p
2 f
f = −γ
2 f
f
Nous pouvons remarquer que, pour un élément vérifiant la relation de Newton, le grandissement γ permet de définir les distances focales ; cette propriété sera exploitée par la
suite afin de définir les distances focales d’un doublet.
3. MISE EN ÉQUATION D’UN DOUBLET QUELCONQUE
Considérons deux éléments optiques quelconques (dont il n’est pas nécessaire de préciser la nature) de sommets respectifs S 1 et S 2 , séparés d’une distance e . Ces sommets sont
alignés de sorte que leurs axes principaux soient confondus, constituant ainsi l’axe principal d’un système centré.
D’un point objet A situé sur l’axe, on obtient
une image A
à travers le premier élément de
sommet S 1 , puis une nouvelle image A
à travers l’élément de sommet S 2 . Les différentes
distances utilisées sont définies sur la figure
8.2. Les relations de conjugaison écrites pour
chacun des éléments du doublet sont :
f
1
p
1
+
f 1
p 1
= 1 et
f
2
p
2
+
f 2
p 2
= 1
ce qui donne :
p
1 =
p 1 f
1
p 1 − f 1
et p 2 =
p
2 f 2
p
2 − f
2
(1)
Or, p
1 et p 2 sont reliés à la distance définie par e = S 1 S 2 = S 1 A + A S 2 = p
1 − p 2 .
Si l’on injecte les deux expressions précédentes dans celle de e , on peut écrire :
p 1 p
2 (e − f
1 + f 2 ) + p 1 f
2 ( f
1 − e) − p
2 f 1 ( f 2 + e) + e f 1 f
2 = 0
On peut par exemple en tirer l’expression de p 1 en fonction de p
2 :
p 1 =
p
2 f 1 ( f 2 + e) − e f 1 f
2
p
2 (e − f
1 + f 2 ) + f
2 ( f
1 − e)
(2)
Cette expression qui relie les positions d’un objet et de son image à travers le doublet est
donc une relation de conjugaison. Bien qu’elle soit compliquée, nous allons voir qu’elle
permet néanmoins de déterminer la position des foyers du doublet par rapport aux sommets S 1 et S 2 .
8 • Les combinaisons ou associations
221
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
A
A ' '
A '
e
p' 1
S 1
S 2
p' 2
p 1
p 2
Figure 8.2 • Système optique centré contenant
deux éléments de sommets S 1 et S 2 .