Optique
214
On peut retrouver ce résultat analytiquement : la relation de conjugaison donne
p
2
+ dp + d f
= 0 . Les solutions dépendent du signe du discriminant = d
2
− 4d f
.
• 1 er cas : le discriminant est positif et il y a deux solutions distinctes qui sont :
p =
−d ±
d 2 − 4d f
2
.
La distance p entre les deux positions de l’objet pour lesquelles l’image est nette vaut :
p =
d 2 − 4d f , soit f
=
d
2
− p
2
4d
. Ce sont les points A et B de la figure.
Si d = 1,80 m et p = 1,20 m , f
= 25 cm ; Les deux positions possibles de l’objet sont
p = −1,5 m et p
= 30 cm ; p = −30 cm et p
= 1,5 m .
• 2 e cas : le discriminant est nul et il y a une solution double qui est p =
−d
2
. C’est le point C
de la figure 7.24.
Dans le cas d’une lentille divergente, le discriminant est toujours positif et il y a dans l’absolu
deux solutions. Seule une solution satisfait à la condition p < 0 et p
> 0. On a alors
p =
−d −
d 2 − 4d f
2
.
Si d = 1,80 m, on a alors p = −2,022 m et p
= −0,222 m.
c) Si d = 1 m et f
= 0,1 m, le discriminant vaut 0,77 m. Il est positif et il a donc bien deux
solutions possibles :
p 1 = −0,887 m et p
1 = 0,112 m ;
p 2 = −0,112 m et p
2 = 0,887 m .
Les deux solutions sont possibles car objet et image sont réels.
a) Au minimum de déviation, D = 2i − A et r = r
= A/2 . Le prisme est équilatéral
( A = 60° ). La relation de Snell-Descartes (sin i =
√
2 sin r ) donne i = 45° et D m = 30° .
b) Les rayons incidents sont parallèles ; A
est donc dans le plan focal image de la lentille.
Dans le triangle S F
A
, tan α =
F A
f . Dans le triangle C H S , π/2 − i + α + π − A = π , soit
α = i − 30° = 15° . On trouve alors F A = 2,68 cm .
7
i
i
F'
A'
A
B
C
S
H
α
c) Comme D = 2i − A , où A est constant, on a d D = 2di . Par ailleurs,
sin i = n sin r = n sin A/2 . En différentiant, on trouve et cos i di = dn sin A/2 . Enfin,
d(F A ) = f
1
cos 2 α
dα , avec dα = di .
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On peut retrouver ce résultat analytiquement : la relation de conjugaison donne
p
2
+ dp + d f
= 0 . Les solutions dépendent du signe du discriminant = d
2
− 4d f
.
• 1 er cas : le discriminant est positif et il y a deux solutions distinctes qui sont :
p =
−d ±
d 2 − 4d f
2
.
La distance p entre les deux positions de l’objet pour lesquelles l’image est nette vaut :
p =
d 2 − 4d f , soit f
=
d
2
− p
2
4d
. Ce sont les points A et B de la figure.
Si d = 1,80 m et p = 1,20 m , f
= 25 cm ; Les deux positions possibles de l’objet sont
p = −1,5 m et p
= 30 cm ; p = −30 cm et p
= 1,5 m .
• 2 e cas : le discriminant est nul et il y a une solution double qui est p =
−d
2
. C’est le point C
de la figure 7.24.
Dans le cas d’une lentille divergente, le discriminant est toujours positif et il y a dans l’absolu
deux solutions. Seule une solution satisfait à la condition p < 0 et p
> 0. On a alors
p =
−d −
d 2 − 4d f
2
.
Si d = 1,80 m, on a alors p = −2,022 m et p
= −0,222 m.
c) Si d = 1 m et f
= 0,1 m, le discriminant vaut 0,77 m. Il est positif et il a donc bien deux
solutions possibles :
p 1 = −0,887 m et p
1 = 0,112 m ;
p 2 = −0,112 m et p
2 = 0,887 m .
Les deux solutions sont possibles car objet et image sont réels.
a) Au minimum de déviation, D = 2i − A et r = r
= A/2 . Le prisme est équilatéral
( A = 60° ). La relation de Snell-Descartes (sin i =
√
2 sin r ) donne i = 45° et D m = 30° .
b) Les rayons incidents sont parallèles ; A
est donc dans le plan focal image de la lentille.
Dans le triangle S F
A
, tan α =
F A
f . Dans le triangle C H S , π/2 − i + α + π − A = π , soit
α = i − 30° = 15° . On trouve alors F A = 2,68 cm .
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i
i
F'
A'
A
B
C
S
H
α
c) Comme D = 2i − A , où A est constant, on a d D = 2di . Par ailleurs,
sin i = n sin r = n sin A/2 . En différentiant, on trouve et cos i di = dn sin A/2 . Enfin,
d(F A ) = f
1
cos 2 α
dα , avec dα = di .