7 • Les lentilles minces
213
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
a) d = A A = AS + S A = p
− p . La relation de conjugaison donne d = −
p
2
p + f . La dérivée de d en fonction de p s’écrit −
p( p + 2 f
)
( p + f ) 2 et s’annule pour p = p
= 0 (d = 0 ) et
p = −p
= −2 f
et p
= 2 f
(d = 4 f
). d passe donc par deux extrema. Dans le premier
cas, l’objet est en S ; dans le deuxième cas, l’objet et son image sont symétriques par rapport à
la lentille.
Pour déterminer la nature des extrema, on calcule la dérivée seconde de d en fonction de p .
On trouve : −
2 f
2
( p + f ) 3 . Elle est négative en p = 0 , c’est alors un maximum ; elle est positive
en p = −2 f
qui correspond à un minimum. La figure 7.24 présente la fonction d( p) pour
f
= 1 m . Elle a une asymptote verticale p = − f
.
6
Si la lentille est divergente, f
< 0 et la dérivée seconde est positive en p = 0 et négative en
p = −2 f
. d( p) est donc maximum en 0, avec une asymptote verticale en p = − f
.
A B
C
40
--10
--10
--20
--30
10
20
30
--20
--30
--40
30
20
10
0
Distance d
Position de l'objet : p
Distance d
Position de l'objet p
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
-30
-20
-10
0
10
20
30
b) Pour placer l’image sur l’écran, elle doit être réelle (p
> 0 ). L’objet étant lui-même réel
(p < 0 ), d = p
− p > 0 . On ne s’intéresse donc qu’au demi-plan supérieur de la figure.
Cela impose que p < − f
. Il y a alors deux solutions différentes dans le cas général (notées A
et B ), mais confondues (notée C ) si p a la valeur particulière p = −2 f
. On remarquera que
d est toujours supérieur ou égal à 4 f
.