Un rayon parallèle à l’axe d’un miroir
concave arrive en I à une distance d de
l’axe principal. Il se réfléchit avec un
angle de réflexion θ et coupe l’axe
principal en A
. Le miroir est stigmatique si la position de A
est indépendante du point I ou encore de l’angle
θ . On a :
sin θ =
H I
C H
=
d
R
(θ > 0)
où R est le rayon de courbure du
miroir (R > 0).
D’autre part on a :
cos(
A I H) = cos
π
2
− 2θ
= sin 2θ =
H I
A I
On peut donc exprimer d = H I de deux manières différentes :
H I = d = A I sin 2θ et d = R sin θ. On a donc A I =
R
2 cos θ
.
Le triangle I C A
est isocèle donc C A = A I et finalement :
S A = SC + C A = −R + A I = R
1
2 cos θ
− 1
A
devrait se situer au foyer du miroir, à une
distance R/2 de S . Or, on trouve une distance qui dépend de θ . La figure 6.16 représente le rapport
S A
R
en fonction de θ , qui
devrait être rigoureusement égal à 1/2 si le
miroir était stigmatique. Ceci n’est vrai que
pour les très petits angles θ . Dans ce dernier
cas seulement :
S A
= S F
=
R
2
Ce défaut de stigmatisme pose de graves problèmes dans les télescopes.
Pour fixer les idées, prenons le cas d’un miroir de télescope de 60 cm de diamètre et de
3,6 m de distance focale (R = 7,2 m). La valeur maximale prise par θ est :
sin θ =
30
720
=
1
24
soit θ = 2,4
◦
La valeur maximale de S A
est donc :
S A
= 7,2
1 −
1
2 cos 2,4 ◦
= 7,2 × 0,49956 = 3,596870 m
Optique
166
d
C
H S
A'
I
θ
θ
θ
Figure 6.15 • Le rayon qui arrive parallèlement à l’axe
le coupe en A
. Ce point A
dépendant de l’angle θ , un
miroir sphérique n’a pas de « vrai foyer ». Ce défaut est
appelé l’aberration de sphéricité.
0
5
0
10
15 20 25
0,4
0,45
0,5
θ (°)
SA'/R
Figure 6.16 • Valeur du rapport S A
/R
en fonction de l’angle θ .