l’objet A se déplace. En effet, un point quelconque de ces courbes (abscisse p et ordonnée p
) donne par ses coordonnées les positions des points conjugués A et A
.
Optique
156
Cela revient à étudier la fonction h(x) =
r x
2x − r
, où r est une constante négative
(miroir convergent) ou positive (miroir divergent).
• Calcul de la dérivée :
h
(x) =
−r
2
(2x − r) 2 < 0 . La fonction étudiée est donc décroissante quel que soit le
type de miroir sphérique étudié.
• Étude des asymptotes :
lim
x→±∞
h(x) =
r
2
.
La courbe présente donc une asymptote horizontale d’équation y = r/2 = f
; de
même lim
x→ r ±
2
h(x) = ∓∞ . La courbe présente donc aussi une asymptote verticale
d’équation x = r/2 = f .
Enfin, on a f
= f .
Encart 6.2. Étude mathématique de la relation de conjugaison du miroir sphérique
p = f
p' = f'
10
5
0
--5
--4 --3 --2 --1 0 1 2 3 4
--10
Position de l'objet (m)
Position de l'image (m)
Miroir
convergent
r = --2 m
S
p = f
p' = f'
10
5
0
--5
--4 --3 --2 --1 0 1 2 3 4
--10
Position de l'objet (m)
Position de l'image (m)
Miroir
divergent
r = 2 m
S
Figure 6.5 • Évolution de la position de l’image A
d’un point objet A qui se déplace
sur l’axe principal. Cas d’un miroir sphérique
convergent (concave, r < 0 ).
Figure 6.6 • Évolution de la position de l’image A
d’un point objet A qui se déplace
sur l’axe principal. Cas d’un miroir sphérique
divergent (convexe, r > 0 ).
Nous avons pris comme exemple un miroir sphérique convergent de 2 m de rayon de
courbure (r = −2 m ) (figure 6.5) et un miroir divergent (r = 2 m ) (figure 6.6). Dans
les deux cas la courbe est une hyperbole qui possède deux asymptotes, une asymptote
verticale pour p = f = r/2 et une asymptote horizontale pour p
= f
= r/2 .