En considérant les orientations, la loi de Snell-Descartes s’écrit j = −i ; on a finalement :
2ω = α + α
.
Dans l’approximation des petits angles, on peut confondre α , α
et ω avec leurs tangentes et H avec S . On trouve alors :
tan α ≈ α =
S I
AS
=
S I
− p
, tan α
≈ α
=
S I
A S
=
S I
− p et tan ω ≈ ω =
S I
C S
=
S I
−r
Finalement, si l’on reporte dans 2ω = α + α
, on a :
2
S I
−r
= −S I
1
p
+
1
p
On aboutit ainsi à la relation de conjugaison des miroirs sphériques qui s’écrit :
1
p
+
1
p =
2
r
ou
1
S A
+
1
S A
=
2
SC
Remarquons que l’on aurait pu choisir un autre sens d’orientation pour les angles (par
exemple inverser α ). On obtient alors 2ω = α
− α et i = −α − ω . Cependant,
tan α =
S I
p
, ce qui donne la même relation de conjugaison. L’orientation est donc bien
arbitraire.
Optique
154
;; ;; ;; ;;
A
HS
A'
C
I
i
j
α'
α
ω
Figure 6.3 • Étude de la marche d’un rayon dans un miroir sphérique convergent (concave).
Pour un miroir divergent (convexe) (figure 6.4), on suit la même démarche.
Maintenant, α et i sont orientés dans le sens direct, et sont précédés du signe « + »
dans les formules, par contre j , α
et ω , qui sont orientés dans le sens contraire, sont
précédés du signe « – ».
Dans les triangles AI C et A
I C , on a :
α − ω + π − i = π ⇒ α − ω = i
π + α
− ω − j = π ⇒ α
− ω = j
Encart 6.1. Étude du miroir sphérique divergent