2. DE LA LOI DE SNELL-DESCARTES À LA RELATION DE CONJUGAISON
POUR UN MIROIR SPHÉRIQUE
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, nous pouvons établir, pour un miroir sphérique et à partir de la première loi de Snell-Descartes, une relation de conjugaison qui
relie les positions sur l’axe principal par rapport à S , d’un objet, A , et de son image, A
.
Nous nous plaçons toujours dans l’approximation de Gauss. Cette relation de conjugaison est universelle, indépendante du type de miroir sphérique utilisé et nous allons
l’établir dans le cas d’un miroir sphérique convergent. L’étude du miroir sphérique
divergent est présentée dans l’encart 6.1.
Pour établir la relation de conjugaison, nous utilisons la relation de Snell-Descartes,
après avoir défini la configuration du miroir. Les angles introduits dans cette démonstration sont des angles orientés, définis soit par rapport à l’axe principal (α , α
et ω ), soit
par rapport à la normale au miroir en I (i et j ). Avec la convention habituelle tous les
angles orientés dans le sens direct (inverse de celui des aiguilles d’une montre) seront
donc précédés dans les formules du signe « + » et du signe « – » dans le cas contraire. Sur
la figure 6.3, les angles sont orientés dans le sens direct, excepté i , qui sera précédé du
signe « – ».
Les démonstrations sont basées sur le même procédé que celui proposé au chapitre 5
dans le cas d’un dioptre sphérique. Elles ne seront pas développées en totalité, étant
donnée la similitude des démonstrations.
Du point objet réel A , situé sur l’axe principal, on trace deux rayons particuliers. Le premier, d’incidence nulle passe par l’axe principal. Le deuxième, AI , fait, avec la normale
en I , un angle d’incidence i et se réfléchit. Finalement, ces deux rayons se coupent sur
l’axe principal en A
(image réelle). On pose S A = p et S A = p
.
Dans les triangles AI C et C I A
, on écrit que la somme des angles orientés est égale à π :
α + π − ω − i = π ⇒ α − ω = i
ω + π − α
+ j = π ⇒ α
− ω = j
6 • Les miroirs sphériques
153
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Encart historique. Les miroirs
Autrefois, les miroirs étaient en bronze, composés d’une lame de verre recouverte du
« métal des miroirs » (bronze blanc et dur, à faible pouvoir de réflexion). L’un des
premiers télescopes a été inventé par Isaac Newton qui a taillé un miroir dans un bloc
de bronze. C’est un matériau difficile à tailler et à polir, et le miroir s’oxyde et doit
être repoli souvent. Deux siècles plus tard, Léon Foucault (inventeur du pendule « de
Foucault » et du gyroscope) maîtrise la technique de taille et de polissage du verre. Il
invente la méthode encore utilisée de nos jours. Le bloc de verre est ébauché en le
frottant contre un autre bloc de verre ; entre les deux surfaces, on introduit des abrasifs de plus en plus minces. Quand le polissage est terminé, on dépose une mince
couche d’aluminium (autrefois de l’argent) qui rend la surface réfléchissante. Cette
dernière est ensuite en général protégé par une couche de silice amorphe.
POUR UN MIROIR SPHÉRIQUE
Dans le cadre de l’approximation de Gauss, nous pouvons établir, pour un miroir sphérique et à partir de la première loi de Snell-Descartes, une relation de conjugaison qui
relie les positions sur l’axe principal par rapport à S , d’un objet, A , et de son image, A
.
Nous nous plaçons toujours dans l’approximation de Gauss. Cette relation de conjugaison est universelle, indépendante du type de miroir sphérique utilisé et nous allons
l’établir dans le cas d’un miroir sphérique convergent. L’étude du miroir sphérique
divergent est présentée dans l’encart 6.1.
Pour établir la relation de conjugaison, nous utilisons la relation de Snell-Descartes,
après avoir défini la configuration du miroir. Les angles introduits dans cette démonstration sont des angles orientés, définis soit par rapport à l’axe principal (α , α
et ω ), soit
par rapport à la normale au miroir en I (i et j ). Avec la convention habituelle tous les
angles orientés dans le sens direct (inverse de celui des aiguilles d’une montre) seront
donc précédés dans les formules du signe « + » et du signe « – » dans le cas contraire. Sur
la figure 6.3, les angles sont orientés dans le sens direct, excepté i , qui sera précédé du
signe « – ».
Les démonstrations sont basées sur le même procédé que celui proposé au chapitre 5
dans le cas d’un dioptre sphérique. Elles ne seront pas développées en totalité, étant
donnée la similitude des démonstrations.
Du point objet réel A , situé sur l’axe principal, on trace deux rayons particuliers. Le premier, d’incidence nulle passe par l’axe principal. Le deuxième, AI , fait, avec la normale
en I , un angle d’incidence i et se réfléchit. Finalement, ces deux rayons se coupent sur
l’axe principal en A
(image réelle). On pose S A = p et S A = p
.
Dans les triangles AI C et C I A
, on écrit que la somme des angles orientés est égale à π :
α + π − ω − i = π ⇒ α − ω = i
ω + π − α
+ j = π ⇒ α
− ω = j
6 • Les miroirs sphériques
153
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Encart historique. Les miroirs
Autrefois, les miroirs étaient en bronze, composés d’une lame de verre recouverte du
« métal des miroirs » (bronze blanc et dur, à faible pouvoir de réflexion). L’un des
premiers télescopes a été inventé par Isaac Newton qui a taillé un miroir dans un bloc
de bronze. C’est un matériau difficile à tailler et à polir, et le miroir s’oxyde et doit
être repoli souvent. Deux siècles plus tard, Léon Foucault (inventeur du pendule « de
Foucault » et du gyroscope) maîtrise la technique de taille et de polissage du verre. Il
invente la méthode encore utilisée de nos jours. Le bloc de verre est ébauché en le
frottant contre un autre bloc de verre ; entre les deux surfaces, on introduit des abrasifs de plus en plus minces. Quand le polissage est terminé, on dépose une mince
couche d’aluminium (autrefois de l’argent) qui rend la surface réfléchissante. Cette
dernière est ensuite en général protégé par une couche de silice amorphe.