De la deuxième forme de la relation de conjugaison, on obtient :
1 −
p
n
n p
=
p
f soit 1 −
p
f =
np
n p
= γ
5 • Les dioptres sphériques
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Grandissement transversal :
γ =
A B
AB
=
np
n p
=
nS A
n S A
Cette expression, dans laquelle on a exprimé p
en fonction de p , s’écrit aussi :
γ =
np
n p
=
n
n + p
L’étude mathématique de cette fonction est donnée dans l’encart 5.5. La courbe correspondante est tracée pour un dioptre convergent (figure 5.21) et pour un dioptre divergent (figure 5.22). Le grandissement longitudinal g qui est porté sur les courbes est
abordé au paragraphe suivant.
• Calcul de la dérivée
f
(x) =
−n
(n + x) 2 . La fonction étudiée est décroissante si le dioptre est convergent,
croissante dans le cas contraire.
• Étude des asymptotes
lim
x→±∞
f (x) = 0 . La courbe présente une asymptote horizontale quand x → ±∞ .
Cette asymptote a pour équation y = 0 quelle que soit la vergence du dioptre.
lim
x→− n
f (x) = ∞ . La courbe présente aussi une asymptote verticale d’équation
x = −
n
= f .
Encart 5.5. Étude mathématique de la fonction f (x) =
n
n + x
10
5
0
--5
--4 --3 --2 --1 0
1 2
3
4
--10
Position de l'objet (m)
Grandissements
Dioptre convergent
n = 1
n' = 1,5
r = 1/3 m
g
γ
p = f
10
5
0
--5
--4 --3 --2 --1 0
1 2
3
4
--10
Position de l'objet (m)
Grandissements
Dioptre divergent
n = 1
n' = 1,5
r = --1/3 m
g
γ
p = f
Figure 5.21 • Grandissements transversal γ
et longitudinal g en fonction de la position
de l’objet p pour un dioptre convergent.
Figure 5.22 • Grandissements transversal γ
et longitudinal g en fonction de la position
de l’objet p pour un dioptre divergent.