De manière générale, quelle que soit la vergence du dioptre sphérique, l’objet et son
image ont une position distincte sur l’axe principal (p = p
). Il existe cependant deux
positions particulières satisfaisant à la condition p = p
, déduites de la relation de conjugaison. En effet, dans ce cas cette fonction s’écrit aussi : p
2
+ (n − n
) p = 0 . Cette
équation a deux solutions :
• p = 0 ; A et A
sont alors confondus au sommet du dioptre S ;
• p =
n
− n
= r . Cette dernière situation sera discutée graphiquement dans les paragraphes 3.1 et 3.2.
5 • Les dioptres sphériques
125
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
n et n
sont des constantes positives et peut être une constante positive ou négative
selon que le dioptre est convergent ou divergent ; il n’est cependant pas nécessaire
de connaître leurs valeurs numériques pour discuter les allures des courbes.
• Calcul de la dérivée : h
(x) =
nn
(n + x) 2 > 0 . La fonction h(x) est donc toujours
croissante quel que soit le type de dioptre étudié. Cette propriété exprime le fait que
si p augmente, p
augmente aussi. Par exemple, si l’objet se rapproche du dioptre
par la gauche, l’image s’en éloigne vers la droite.
• Étude des asymptotes : lim
x→±∞
h(x) =
n
= f
. La courbe présente une asymptote
horizontale quand x → ±∞ , et la fonction tend vers une valeur que nous notons f
(pour focale) pour des raisons que nous exposerons plus loin. Par ailleurs, quand le
dénominateur tend vers 0, la fonction tend vers l’infini ; ceci signifie que la courbe
présente une asymptote verticale d’équation x = −
n
= f .
Encart 5.4. Étude de la fonction h(x) =
n
x
n + x
3.1. Cas d’un objet réel
L’objet est réel s’il se situe à gauche du sommet du dioptre dans le milieu d’indice n.
C’est la seule situation possible si le dioptre est seul car, pour former un objet virtuel, il
faut un autre système optique (voir chapitre 4). Dans ce contexte, seul le demi-plan correspondant à p négatif sera discuté dans ce paragraphe. On a tracé, sur les figures 5.7 et
5.8, p
en fonction de p pour un dioptre convergent et divergent.
Ces courbes permettent d’accéder aux informations suivantes :
• Pour un dioptre convergent, > 0 (figure 5.7), plus l’objet A s’éloigne de S et plus
son image A
se rapproche d’une position particulière notée F
. Cette dernière est repérée par la quantité algébrique S F
= f
qui est positive ; F
est donc à droite de S . De
même, la courbe présente une asymptote verticale lorsque p = −
n
. Cela correspond à
une position particulière de l’objet, que l’on note F et telle que S F = f . f est négative
et F se place donc à gauche de S .
Si p < f , l’objet est à gauche de F ; p
est positif et A
se situe à droite du dioptre sphérique dans le milieu d’indice n
: l’image est réelle. Au contraire, si 0 < p < f , l’objet
image ont une position distincte sur l’axe principal (p = p
). Il existe cependant deux
positions particulières satisfaisant à la condition p = p
, déduites de la relation de conjugaison. En effet, dans ce cas cette fonction s’écrit aussi : p
2
+ (n − n
) p = 0 . Cette
équation a deux solutions :
• p = 0 ; A et A
sont alors confondus au sommet du dioptre S ;
• p =
n
− n
= r . Cette dernière situation sera discutée graphiquement dans les paragraphes 3.1 et 3.2.
5 • Les dioptres sphériques
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
n et n
sont des constantes positives et peut être une constante positive ou négative
selon que le dioptre est convergent ou divergent ; il n’est cependant pas nécessaire
de connaître leurs valeurs numériques pour discuter les allures des courbes.
• Calcul de la dérivée : h
(x) =
nn
(n + x) 2 > 0 . La fonction h(x) est donc toujours
croissante quel que soit le type de dioptre étudié. Cette propriété exprime le fait que
si p augmente, p
augmente aussi. Par exemple, si l’objet se rapproche du dioptre
par la gauche, l’image s’en éloigne vers la droite.
• Étude des asymptotes : lim
x→±∞
h(x) =
n
= f
. La courbe présente une asymptote
horizontale quand x → ±∞ , et la fonction tend vers une valeur que nous notons f
(pour focale) pour des raisons que nous exposerons plus loin. Par ailleurs, quand le
dénominateur tend vers 0, la fonction tend vers l’infini ; ceci signifie que la courbe
présente une asymptote verticale d’équation x = −
n
= f .
Encart 5.4. Étude de la fonction h(x) =
n
x
n + x
3.1. Cas d’un objet réel
L’objet est réel s’il se situe à gauche du sommet du dioptre dans le milieu d’indice n.
C’est la seule situation possible si le dioptre est seul car, pour former un objet virtuel, il
faut un autre système optique (voir chapitre 4). Dans ce contexte, seul le demi-plan correspondant à p négatif sera discuté dans ce paragraphe. On a tracé, sur les figures 5.7 et
5.8, p
en fonction de p pour un dioptre convergent et divergent.
Ces courbes permettent d’accéder aux informations suivantes :
• Pour un dioptre convergent, > 0 (figure 5.7), plus l’objet A s’éloigne de S et plus
son image A
se rapproche d’une position particulière notée F
. Cette dernière est repérée par la quantité algébrique S F
= f
qui est positive ; F
est donc à droite de S . De
même, la courbe présente une asymptote verticale lorsque p = −
n
. Cela correspond à
une position particulière de l’objet, que l’on note F et telle que S F = f . f est négative
et F se place donc à gauche de S .
Si p < f , l’objet est à gauche de F ; p
est positif et A
se situe à droite du dioptre sphérique dans le milieu d’indice n
: l’image est réelle. Au contraire, si 0 < p < f , l’objet