normale en I . Dans l’exemple choisi, les deux rayons se coupent physiquement sur l’axe
en A
, qui est l’image réelle de A .
En posant p = S A et p
= S A
, on repère les positions de l’objet A et de son image A
par rapport au sommet du dioptre. Comme l’objet est réel, situé à gauche du dioptre, p
est négatif. La construction donne, pour l’exemple choisi, une image réelle située à droite du dioptre avec p
positif. Dans le cadre de l’approximation de Gauss, les angles définis sur la figure 5.4 (α , α
et ω ) sont petits ; au lieu de la relation de Snell-Descartes, on
utilisera donc la loi de Kepler.
Dans les triangles I AC et I C A
, on écrit que la somme des angles orientés est égale à π :
• dans I AC :
α + π − i + (−ω) = π ,
d’où i = α − ω ;
• dans I C A
:
(−α
) + r + π − (−ω) = π , d’où r = α
− ω .
La relation de Snell-Descartes écrite au point I et réduite à l’équation de Kepler devient :
n(α − ω) = n
(α
− ω)
Dans le cadre de l’approximation des petits angles, on peut confondre H et S et assimiler les tangentes aux angles correspondants :
α ≈ tan α =
H I
AH
=
H I
AS
=
H I
− p
α
≈ tan α
=
H I
A H
=
H I
A S
=
H I
− p
ω ≈ tan ω =
H I
C H
=
H I
C S
=
H I
−r
On remplace α , α
et ω par ces valeurs dans la loi de Kepler qui devient, après simplification :
n
1
p
−
1
r
= n
1
p −
1
r
Cette relation fondamentale qui relie les positions d’un objet A et de son image A
est
appelée la relation de conjugaison du dioptre sphérique. On peut la réécrire sous la
forme suivante :
n
p −
n
p
=
n
− n
r
Optique
122
n' > n
n
C
A '
A
SH
α'
ω
r
I
i
α
+
+
+
+
Figure 5.4 • Étude de la marche d’un rayon pour un dioptre sphérique convexe convergent.