2. DE LA LOI DE SNELL-DESCARTES À LA RELATION DE CONJUGAISON
Si une source lumineuse A , située par exemple à gauche d’un dioptre sphérique, émet
des rayons de faible incidence par rapport à la normale au dioptre, on est dans le cadre
de l’approximation de Gauss. Le dioptre sphérique, comme tout bon instrument optique,
fournit alors de cet objet une image A
, fidèle à l’objet. Comme pour les dioptres plans,
cette image est définie par l’intersection de rayons lumineux ou de leurs prolongements.
A
est réelle ou virtuelle, selon la nature des rayons qui forment cette image. Nous allons
établir, à partir de la deuxième loi de Snell-Descartes, et dans ces conditions une relation
qui lie les positions de A et A
, quelle que soit leur nature ; on l’appelle la relation de
conjugaison. Sa forme mathématique ne dépend pas du type de dioptre étudié : elle est
universelle. Nous proposons tout d’abord de l’établir pour un dioptre convexe convergent.
La démonstration pour un dioptre divergent est donnée dans l’encart 5.2.
Les formules établies relient entre elles des quantités algébriques ; il est donc nécessaire
d’orienter les angles dans cette discussion. On choisira comme sens positif le sens trigonométriques. Ainsi, l’angle ω de la figure 5.5 doit être affecté d’un signe « – ». Au
contraire α , r et i sont dans le sens direct, (voir l’annexe du chapitre 2). Notons que ce
choix d’orientation est arbitraire et n’influe pas sur le résultat final.
L’objet A est situé sur l’axe optique du dioptre, par exemple à gauche de S (figure 5.5).
C’est un objet réel. Considérons deux rayons particuliers issus de A . Le premier est celui
qui se propage avec une incidence nulle : il est sur l’axe principal, horizontal, et non
dévié après la traversée du dioptre. Le deuxième fait en I un angle d’incidence i avec la
normale au dioptre sphérique. Il est réfracté et l’on note r l’angle de réfraction avec la
5 • Les dioptres sphériques
121
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Convergent
S
C
I
n' > n
Divergent
S
C
I
n' < n
Di
t
S
C
I
n' > n
C
t
S
C
I
n' < n
Dioptre convexe
Dioptre concave
Figure 5.3 (a) • Les quatre configurations possibles d’un dioptre sphérique.
Convergent
Convergent
S
S
S
C
C
C
n' > n
Divergent
n' > n
Divergent
S
C
n' < n
n' < n
Dioptre convexe
Dioptre concave
Figure 5.3 (b) • Même représentation dans l’approximation de Gauss.
Si une source lumineuse A , située par exemple à gauche d’un dioptre sphérique, émet
des rayons de faible incidence par rapport à la normale au dioptre, on est dans le cadre
de l’approximation de Gauss. Le dioptre sphérique, comme tout bon instrument optique,
fournit alors de cet objet une image A
, fidèle à l’objet. Comme pour les dioptres plans,
cette image est définie par l’intersection de rayons lumineux ou de leurs prolongements.
A
est réelle ou virtuelle, selon la nature des rayons qui forment cette image. Nous allons
établir, à partir de la deuxième loi de Snell-Descartes, et dans ces conditions une relation
qui lie les positions de A et A
, quelle que soit leur nature ; on l’appelle la relation de
conjugaison. Sa forme mathématique ne dépend pas du type de dioptre étudié : elle est
universelle. Nous proposons tout d’abord de l’établir pour un dioptre convexe convergent.
La démonstration pour un dioptre divergent est donnée dans l’encart 5.2.
Les formules établies relient entre elles des quantités algébriques ; il est donc nécessaire
d’orienter les angles dans cette discussion. On choisira comme sens positif le sens trigonométriques. Ainsi, l’angle ω de la figure 5.5 doit être affecté d’un signe « – ». Au
contraire α , r et i sont dans le sens direct, (voir l’annexe du chapitre 2). Notons que ce
choix d’orientation est arbitraire et n’influe pas sur le résultat final.
L’objet A est situé sur l’axe optique du dioptre, par exemple à gauche de S (figure 5.5).
C’est un objet réel. Considérons deux rayons particuliers issus de A . Le premier est celui
qui se propage avec une incidence nulle : il est sur l’axe principal, horizontal, et non
dévié après la traversée du dioptre. Le deuxième fait en I un angle d’incidence i avec la
normale au dioptre sphérique. Il est réfracté et l’on note r l’angle de réfraction avec la
5 • Les dioptres sphériques
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© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Convergent
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Dioptre convexe
Dioptre concave
Figure 5.3 (a) • Les quatre configurations possibles d’un dioptre sphérique.
Convergent
Convergent
S
S
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C
C
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Divergent
n' > n
Divergent
S
C
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Dioptre convexe
Dioptre concave
Figure 5.3 (b) • Même représentation dans l’approximation de Gauss.