obtient
O A
= O A
cos i
n 2 − sin
2 i
= h
sin i
n 2 − sin
2 i
.
Si i est petit, on a O A
≈
O A
n
. De manière générale, O A
< O A .
AN : O A = h = 1 m , et O A
= 0,58 m .
a)Le cylindre extérieur est vu sous un
angle α tel que sin α =
R
d
.
b) On voit le cylindre de mercure sous
l’angle β . Dans le triangle AO
B, on a
sin r 1 =
r
R
. La loi de Snell-Descartes
appliquée au point A donne :
sin i = n sin r 1 = n
r
R
.
Par ailleurs, dans le triangle AH O
, on a
sin i =
O
H
R
et, dans le triangle O H O
,
sin β =
O
H
d
. On trouve donc
O H = d sin β = R sin i = nr ,
soit sin β = n
r
d
.
c) β > α signifie n
r
d
>
R
d
, soit n >
R
r
, ce qui est possible a priori.
Si nr = R , α = β , i = 90
◦ et on a l’impression que le mercure remplit totalement le tube (le
rayon AO est alors tangent au tube).
a) L’observateur voit trois images dans la direction B D .
– La première provient d’un rayon arrivant par la face AB . Il se réfracte en O 1 et l’image
semble provenir du point M 1 situé sur la face AD , à l’intersection entre la verticale et le prolongement du rayon incident.
– La deuxième image provient d’un rayon arrivant par la face BC qui a subi auparavant une
réflexion totale en O
2 sur la face DC . L’image est située en M 2 à l’intersection entre le prolongement du rayon incident et l’horizontale passant par M .
– La troisième image provient d’un rayon arrivant également par la face BC en O 3 . L’image
semble venir de M 3 à l’intersection entre l’horizontale passant par M et le prolongement du
rayon incident.
b) L’angle du rayon incident avec la normale est de 45°. La relation de Snell-Descartes nous
donne, pour tous les rayons réfractés, r = 30
◦ .
Position de M 1 . Le triangle AO 1 M 1 est rectangle isocèle (deux des angles valent 45°). On a
donc AO 1 = AM 1 . Par ailleurs dans le triangle AO 1 M , on a tan r = tan 30
◦
=
AO 1
AM
=
AM 1
AM
.
AM = AD − M D = 8 cm , ce qui donne AM 1 = 4,62 cm et
M M 1 = AD − AM 1 − M D = 3,38 cm .
4
3
4 • La vision des images et les conditions de Gauss
113
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Mercure
R
d
α
O
R
β
r
r 1
O
i
A
H
B
O'
O A
= O A
cos i
n 2 − sin
2 i
= h
sin i
n 2 − sin
2 i
.
Si i est petit, on a O A
≈
O A
n
. De manière générale, O A
< O A .
AN : O A = h = 1 m , et O A
= 0,58 m .
a)Le cylindre extérieur est vu sous un
angle α tel que sin α =
R
d
.
b) On voit le cylindre de mercure sous
l’angle β . Dans le triangle AO
B, on a
sin r 1 =
r
R
. La loi de Snell-Descartes
appliquée au point A donne :
sin i = n sin r 1 = n
r
R
.
Par ailleurs, dans le triangle AH O
, on a
sin i =
O
H
R
et, dans le triangle O H O
,
sin β =
O
H
d
. On trouve donc
O H = d sin β = R sin i = nr ,
soit sin β = n
r
d
.
c) β > α signifie n
r
d
>
R
d
, soit n >
R
r
, ce qui est possible a priori.
Si nr = R , α = β , i = 90
◦ et on a l’impression que le mercure remplit totalement le tube (le
rayon AO est alors tangent au tube).
a) L’observateur voit trois images dans la direction B D .
– La première provient d’un rayon arrivant par la face AB . Il se réfracte en O 1 et l’image
semble provenir du point M 1 situé sur la face AD , à l’intersection entre la verticale et le prolongement du rayon incident.
– La deuxième image provient d’un rayon arrivant par la face BC qui a subi auparavant une
réflexion totale en O
2 sur la face DC . L’image est située en M 2 à l’intersection entre le prolongement du rayon incident et l’horizontale passant par M .
– La troisième image provient d’un rayon arrivant également par la face BC en O 3 . L’image
semble venir de M 3 à l’intersection entre l’horizontale passant par M et le prolongement du
rayon incident.
b) L’angle du rayon incident avec la normale est de 45°. La relation de Snell-Descartes nous
donne, pour tous les rayons réfractés, r = 30
◦ .
Position de M 1 . Le triangle AO 1 M 1 est rectangle isocèle (deux des angles valent 45°). On a
donc AO 1 = AM 1 . Par ailleurs dans le triangle AO 1 M , on a tan r = tan 30
◦
=
AO 1
AM
=
AM 1
AM
.
AM = AD − M D = 8 cm , ce qui donne AM 1 = 4,62 cm et
M M 1 = AD − AM 1 − M D = 3,38 cm .
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4 • La vision des images et les conditions de Gauss
113
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
Mercure
R
d
α
O
R
β
r
r 1
O
i
A
H
B
O'