Si l’on élève les deux membres au carré, on obtient un polynôme du 4 e degré en x . Pour
résoudre cette équation par itérations, il faut isoler la variable x en écrivant par exemple :
wx =
1
n
√
h 2 + x 2
d − x
√
l 2 + (d − x) 2
Choisissons pour commencer la valeur x = 1 mètre. Pour procéder à l’itération, on
injecte cette valeur dans le membre de droite. On obtient ainsi une nouvelle valeur que
l’on réinjecte à nouveau dans le membre de droite. Une dizaine d’itérations sont suffisantes. Les résultats correspondants sont rassemblés dans le tableau 4.1, pour d = 2 m et
l = 1,8 m (coordonnées de l’œil selon Ox et Oy ). L’itération finale fixe les coordonnées du point M.
L’œil place l’image A
sur la droite B M . La connaissance des coordonnées des points B
et M permet d’en déterminer l’équation donnée par :
y = l
x − x M
d − x M
En réalité, l’œil et le poisson ne sont pas ponctuels et ont tous deux une dimension. Les
points A 1 et A 2 représentent les positions de la tête et de la queue du poisson. De
même, les deux extrémités de l’œil du pêcheur sont repérées par les points B 1 (l 1 , d 1 ) et
B 2 (l 2 , d 2 ) (figure 4.27).
Optique
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Tableau 4.1 • Calcul de x par itérations. Le poisson est à 1 m de profondeur (h = 1 m). L’indice de
l’eau est égal à 1,33. L’œil du pêcheur est en B,
situé à d = 2 m et l = 1,8 m. Tous les résultats
sont exprimés en mètres.
0
x = 1
1
0,51639310
2
0,53821353
3
0,53828156
4
0,53828174
5
0,53828174
6
0,53828174
7
0,53828174
8
0,53828174
9
0,53828174
10
0,53828174
11
0,53828174
12
0,53828174
13
0,53828174
.d
= 2 m
l = 1,8 m
l 1
l 2
M 2
M 1
B 2
B 1
d 1
d 2
A 1
A 2
x
y
Figure 4.27 • Prise en compte des dimensions du poisson et de
l’œil. Représentation des rayons extrêmes, quand l’observateur
regarde la tête du poisson.