Considérons un miroir plan, initialement en position horizontale, et faisons-le tourner d’un angle α . Le
miroir s’est alors déplacé de la position M 1 à M 2 (figure 4.6). Un rayon
atteint respectivement les deux
miroirs soit en I 1 soit en I 2 . Les prolongements des deux rayons réfléchis
par le miroir dans la position M 1
puis M 2 se coupent au point P.
D’autre part, les deux normales qui
se coupent en N font entre elles un
angle α . Dans les triangles N I 1 I 2 et
P I 1 I 2 nous avons :
α + i 1 + π − i 2 = π
d’où : α = i 2 − i 1
β + 2i 1 + 2(π/2 − i 2 ) = π
d’où : β = 2(i 2 − i 1 ) = 2α
Ainsi, si le miroir plan a tourné d’un angle α , le rayon réfléchi a donc tourné d’un angle
β = 2α , égal au double de l’angle de rotation du miroir. Cette propriété explique par
exemple la difficulté de se repérer dans un rétroviseur. En effet, quand le véhicule
tourne et que l’on surveille un automobiliste ou un obstacle dans le rétroviseur, l’image
renvoyée par le miroir tourne 2 fois plus vite que le véhicule alors qu’instinctivement, on
s’attend à une rotation d’un angle beaucoup plus petit. Cette propriété est aussi utilisée
dans le sextant : quand le miroir mobile tourne, l’image du Soleil tourne deux fois plus.
Le principe de cet appareil est décrit dans l’encart 4.1.
4 • La vision des images et les conditions de Gauss
91
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
;;;
;;; ;;;
i 1
i 2
I 1
M 1
M 2
I 2
N
P
O
α
β
α
Figure 4.6 • Effet de la rotation d’un miroir
sur les rayons réfléchis.
Le sextant est un instrument destiné à mesurer des hauteurs au-dessus de l’horizon.
Afin de s’affranchir du mouvement de l’observateur, (le navigateur sur son bateau
par exemple), les deux images (horizon et objet observé) sont observées simultanément à l’aide de deux miroirs plans. Le schéma de principe du sextant est représenté
sur la figure 4.7. Le miroir M 1 est fixe et le miroir M 2 mobile. Les rayons du Soleil se
réfléchissent successivement sur les deux miroirs. Quand l’instrument est réglé, les
deux images sont superposées et on lit directement la hauteur h de l’objet au-dessus
de l’horizon sur un cercle gradué :
– le rayon (1) provenant de l’horizon parvient directement à l’observateur en passant à côté du miroir M 1 fixe ;
– le rayon (2) provenant de l’astre subit deux réflexions dont l’une sur le miroir
mobile M 2 . C’est cette partie mobile qui permet d’obtenir la superposition des deux
images.
L’angle d’inclinaison γ du miroir fixe M 1 étant une caractéristique du sextant, nous
allons établir la relation liant h et α . h permet de repérer la hauteur de l’astre par rapport à l’horizon et α , la lecture sur la graduation. Dans le triangle M 1 M 2 V (V est la
position du viseur) on a :
x + γ + h = π
Encart 4.1. Le sextant
miroir s’est alors déplacé de la position M 1 à M 2 (figure 4.6). Un rayon
atteint respectivement les deux
miroirs soit en I 1 soit en I 2 . Les prolongements des deux rayons réfléchis
par le miroir dans la position M 1
puis M 2 se coupent au point P.
D’autre part, les deux normales qui
se coupent en N font entre elles un
angle α . Dans les triangles N I 1 I 2 et
P I 1 I 2 nous avons :
α + i 1 + π − i 2 = π
d’où : α = i 2 − i 1
β + 2i 1 + 2(π/2 − i 2 ) = π
d’où : β = 2(i 2 − i 1 ) = 2α
Ainsi, si le miroir plan a tourné d’un angle α , le rayon réfléchi a donc tourné d’un angle
β = 2α , égal au double de l’angle de rotation du miroir. Cette propriété explique par
exemple la difficulté de se repérer dans un rétroviseur. En effet, quand le véhicule
tourne et que l’on surveille un automobiliste ou un obstacle dans le rétroviseur, l’image
renvoyée par le miroir tourne 2 fois plus vite que le véhicule alors qu’instinctivement, on
s’attend à une rotation d’un angle beaucoup plus petit. Cette propriété est aussi utilisée
dans le sextant : quand le miroir mobile tourne, l’image du Soleil tourne deux fois plus.
Le principe de cet appareil est décrit dans l’encart 4.1.
4 • La vision des images et les conditions de Gauss
91
© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.
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i 1
i 2
I 1
M 1
M 2
I 2
N
P
O
α
β
α
Figure 4.6 • Effet de la rotation d’un miroir
sur les rayons réfléchis.
Le sextant est un instrument destiné à mesurer des hauteurs au-dessus de l’horizon.
Afin de s’affranchir du mouvement de l’observateur, (le navigateur sur son bateau
par exemple), les deux images (horizon et objet observé) sont observées simultanément à l’aide de deux miroirs plans. Le schéma de principe du sextant est représenté
sur la figure 4.7. Le miroir M 1 est fixe et le miroir M 2 mobile. Les rayons du Soleil se
réfléchissent successivement sur les deux miroirs. Quand l’instrument est réglé, les
deux images sont superposées et on lit directement la hauteur h de l’objet au-dessus
de l’horizon sur un cercle gradué :
– le rayon (1) provenant de l’horizon parvient directement à l’observateur en passant à côté du miroir M 1 fixe ;
– le rayon (2) provenant de l’astre subit deux réflexions dont l’une sur le miroir
mobile M 2 . C’est cette partie mobile qui permet d’obtenir la superposition des deux
images.
L’angle d’inclinaison γ du miroir fixe M 1 étant une caractéristique du sextant, nous
allons établir la relation liant h et α . h permet de repérer la hauteur de l’astre par rapport à l’horizon et α , la lecture sur la graduation. Dans le triangle M 1 M 2 V (V est la
position du viseur) on a :
x + γ + h = π
Encart 4.1. Le sextant