En r = 0, par symétrie :
E =
0 ⇒
dV
dr
r=0
= 0
Donc A = 0. Par suite :
V (0 < r < R) = −
ρr 2
6ε 0
+ B
où la constante B sera déterminée ultérieurement.
b) pour r > R on a ρ = 0 et l’équation de Laplace s’écrit :
1
r 2
d
dr
r 2 dV
dr
= 0
D’où l’on tire successivement :
r 2 dV
dr
= C
V = −
C
r
+ D
V (∞) = 0 ⇒ D = 0
Par suite :
V (r > R) = −
C
r
Détermination des constantes B et C :
Le potentiel et le champ électriques sont continus pour r = R. On a donc d’une part :
−
ρR 2
6ε 0
+ B = −
C
R
(1)
et d’autre part :
−
ρR
3ε 0
=
C
R 2
(2)
L’équation (2) donne :
C = −
ρR 3
3ε 0
L’équation (1) donne :
B =
ρR 2
3ε 0
+
ρR 2
6ε 0
=
ρR 2
2ε 0
Finalement puisque ρ =
3Q
4πR 3 , on obtient :
80
3 Théorème de Gauss
E =
0 ⇒
dV
dr
r=0
= 0
Donc A = 0. Par suite :
V (0 < r < R) = −
ρr 2
6ε 0
+ B
où la constante B sera déterminée ultérieurement.
b) pour r > R on a ρ = 0 et l’équation de Laplace s’écrit :
1
r 2
d
dr
r 2 dV
dr
= 0
D’où l’on tire successivement :
r 2 dV
dr
= C
V = −
C
r
+ D
V (∞) = 0 ⇒ D = 0
Par suite :
V (r > R) = −
C
r
Détermination des constantes B et C :
Le potentiel et le champ électriques sont continus pour r = R. On a donc d’une part :
−
ρR 2
6ε 0
+ B = −
C
R
(1)
et d’autre part :
−
ρR
3ε 0
=
C
R 2
(2)
L’équation (2) donne :
C = −
ρR 3
3ε 0
L’équation (1) donne :
B =
ρR 2
3ε 0
+
ρR 2
6ε 0
=
ρR 2
2ε 0
Finalement puisque ρ =
3Q
4πR 3 , on obtient :
80
3 Théorème de Gauss