b) R 1 < r < R 2 :
1
r
d
dr
(r E r ) =
ρ
ε 0
⇒
d
dr
(r E r ) =
ρr
ε 0
r E r =
ρr 2
2ε 0
+ B ⇒ E r =
ρr
2ε 0
+
B
r
La continuité du champ en r = R 1 implique que :
ρR 1
2ε 0
+
B
R 1
= 0 ⇒ B = −
ρR
2
1
2ε 0
E =
ρ
2ε 0
r −
R
2
1
r
e r
c) r > R 2 :
On a de nouveau
div
E = 0 ⇒ r E r = C
Écrivons la continuité de
E en r = R 2 :
ρR 2
2ε 0
−
ρR
2
1
2ε 0 R 2
=
C
R 2
⇒ C =
ρ
2ε 0
(R
2
2 − R
2
1 )
E =
ρ
2ε 0 r
(R
2
2 − R
2
1 ) e r
3.6. La distribution étant de symétrie sphérique, le potentiel V et le champ électrique
E ne dépendront que de r.
En coordonnées sphériques, le laplacien se réduit à :
V =
1
r 2
d
dr
r 2 dV
dr
1) Calcul du potentiel V (r) :
a) pour r < R : ρ = Cte.
L’équation de Poisson s’écrit :
1
r 2
d
dr
r 2 dV
dr
= −
ρ
ε 0
⇒ r 2 dV
dr
= −
ρr 3
3ε 0
+ A
dV
dr
= −
ρr
3ε 0
+
A
r 2
Corrigés
79
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e r
r
M
R
O
(Q )