3.5. Pour des raisons de symétrie (voir exemple 1), le champ électrique
E est radial. La
charge volumique ρ étant positive, ce champ
sera centrifuge.
1) Application du théorème de Gauss :
(S)
E · d
S =
q int
ε 0
La symétrie cylindrique de la distribution
impose de prendre pour surface de Gauss un
cylindre de rayon r et de hauteur h. On a :
a) r < R 1 :
q int = 0 ⇒
E =
0
b) R 1 < r < R 2 :
2πrh E = π(r 2 − R
2
1 )h
ρ
ε 0
E =
ρ
2ε 0
r −
R
2
1
r
u r
c) r > R 2 :
Cette fois, on a :
2πrh E = π(R
2
2 − R
2
1 )h
ρ
ε 0
E =
ρ
2ε 0 r
(R
2
2 − R
2
1 ) u r
2) Utilisation de l’équation locale :
div
E =
ρ
ε 0
En coordonnées cylindriques, pour un champ électrique radial, on a :
div
E =
1
r
d
dr
(r E r )
a) r < R 1 (pas de charges) :
div
E = 0 ⇒ r E r = A(cte)
E r (r = 0) = 0 ⇒ A = 0 ⇒
E =
0
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3 Théorème de Gauss