On en déduit :
Q = 4πε 0 r
2 E
= A
1 +
r
a
exp(−r/a) > 0
La charge totale de la distribution correspond à la valeur de Q lorsque r −→ ∞. On
trouve :
Q totale = 0
4) Densité volumique de charge à la distance r. On peut écrire :
ρ(r)4πr
2 dr = dQ
= A exp(−r/a)
−
1
a
1 +
r
a
+
1
a
= −A
r
a 2 exp(−r/a)
ρ(r) = −
A
4πa 2
1
r
exp(−r/a) < 0
5) On a :
Q = A
1 +
r
a
exp
−
r
a
Lorsque
r −→ 0
Q −→ A > 0
Au voisinage de 0, le champ
E devient :
E(M) =
K A
r 2
Tout se passe comme si on avait une charge ponctuelle Q 0 = A > 0 placée au
point O.
6) La distribution de charge proposée est équivalente à :
– une charge ponctuelle Q 0 = A positive placée en O ;
– une charge négative −A répartie dans tout l’espace avec la densité volumique :
ρ(r) = −
A
4πa 2
1
r
exp(−r/a)
– la distribution dans son ensemble est neutre.
Corrigés
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