b) En utilisant les résultats de la première question (cas c))
E 1 (N ) =
ρ 0
3ε 0
R
r 1
3 − − →
O 1 N et
E 2 (N ) = −
ρ 0
3ε 0
R
4r 2
3 − − →
O 2 N
d’où :
E(N ) =
ρ 0 R 3
3ε 0
⎛
⎝
− − →
O 1 N
r
3
1
−
− − →
O 2 N
64r
3
2
⎞
⎠
3.3. 1) Soit
E B et
E C les champs électriques créés en A par les charges placées
respectivement en B et C.
On a successivement :
E B =
K q
l 2
u AB
E C =
K q
l 2
u AC
E 1 =
E B +
E C = −
2K q
l 2 cos α i
en désignant par i le vecteur unitaire porté par
−→
O A.
O A = O B = OC = r
AB = BC = C A = l
Comme cos α =
√
3
2
et l = r
√
3 ⇒
E 1 = −
K q
r 2
√
3
i
2) La distribution volumique créée en n’importe quel point un champ électrique
radial. L’application du théorème de Gauss à la sphère de centre O, de rayon r passant par A donne :
4πr 2 E 2 =
4
3
πr 3 ρ
ε 0
E 2 =
ρr
3ε 0
avec r R
La sphère contient la charge totale +3q (sans les trois charges ponctuelles −q) donc :
4
3
πR 3 ρ = 3q ⇒ ρ =
9q
4πR 3
E 2 = 3K q
r
R 3
avec r R
Corrigés
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E 2
E C
E B
E 1
A
O
C
B
− q
− q
α