Cas a)
E ext =
σ
ε 0
R 2
r 2
Q = 4πR 2 σ
E ext =
1
4πε 0
Q
r 2
Cas b)
E ext =
ρ
3ε 0
R 3
r 2
Q =
4
3
πR 3 ρ
E ext =
1
4πε 0
Q
r 2
3.2. Principe de superposition : En tout point M, le champ est la somme des
champs créés l’un par la sphère (O 1 ,R) portant la charge volumique ρ 0 , l’autre par
la sphère
O 1 ,
R
4
portant la charge volumique −ρ 0 . En utilisant les résultats du
cours et en posant
e r =
−−→
O 1 M
−−→
O 1 M
on obtient :
Corrigés
73
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
r
E 1
E 2
E =
E 1 +
E 2
r
R
4
ρ 0 r
3ε 0
e r
−
ρ 0 r
3ε 0
e r
0
R
4
r R
ρ 0 r
3ε 0
e r
−
ρ 0
3ε 0 r 2
R
4
3
e r
ρ 0
3ε 0
r −
R 3
64r 2
e r
r R
ρ 0 R 3
3ε 0 r 2
e r
−
ρ 0
3ε 0 r 2
R
4
3
e r
21
64
ρ 0 R 3
ε 0 r 2
On obtient alors V (r) en utilisant la relation :
V (r) = −
E(r) dr
– Pour r R :
V (r) =
21
64
ρ 0 R 3
ε 0 r
+ C 1
V (∞) = 0 ⇒ C 1 = 0
– Pour
R
4
r R :
V (r) = −
ρ 0 r 2
6ε 0
−
ρ 0 R 3
192ε 0 r
+ C 2
a)
b)
c)