si r < R :
q int =
4
3
πR 3 ρ ⇒
E int =
ρ
3ε 0
r
e r
D’où :
V ext =
ρ
3ε 0
R 3
r
+ C 1
V ext (∞) = 0 ⇒ C 1 = 0 ⇒ V ext =
ρ
3ε 0
R 3
r
et
V int = −
ρ
3ε 0
r 2
2
+ C 2
La continuité de V (r) à la traversée de la surface s’écrit :
−
ρ
6ε 0
R 2 + C 2 =
ρ
3ε 0
R 2
+ C 2 =
3ρR 2
6ε 0
d’où :
V int =
ρ
6ε 0
(3R 2 − r 2 )
Allure des courbes V (r) et E(r) :
72
3 Théorème de Gauss
V (r )
V (r )
E (r )
E (r )
O
R
r
ρ 2ε 0
R
2
ρ 3ε 0
R
2
ρ 3ε 0
R
On peut noter que, dans ce cas, le champ est continu à la traversée de la surface de la
sphère.
On remarque que, aussi bien dans le cas de la sphère chargée en surface que dans le
cas de la sphère chargée en volume, le calcul de E ext revient à considérer la charge
totale Q portée par la sphère comme placée au centre O de cette sphère.