soit :
4πr 2 E =
q int
ε 0
a) Sphère chargée en surface (on suppose
σ > 0) :
si r > R :
q int = 4πR 2 σ ⇒
E ext =
σ
ε 0
R 2
r 2
e r
si r < R :
q int = 0 ⇒
E int =
0
En utilisant la relation
E = −
dV
dr
e r , on trouve :
V ext =
σ
ε 0
R 2
r
+ C 1
V ext (∞) = 0 ⇒ C 1 = 0 ⇒ V ext =
σ
ε 0
R 2
r
V int = C 2
La continuité de V (r) sur la surface implique que :
V int =
σ
ε 0
R
Allure des courbes V (r) et E(r) :
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
r
M
e r
E
R
O
Corrigés
71
V (r )
V (r )
E (r )
E (r )
O
R
r
σ
ε 0
σ
ε 0
R
On note une discontinuité de
E, d’une valeur
σ
ε 0
, à la traversée de la surface de la
sphère.
b) Sphère chargée en volume (on suppose ρ > 0) :
si r > R :
q int =
4
3
πR 3 ρ ⇒
E ext =
ρ
3ε 0
R 3
r 2
e r